Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{\sqrt{3} z} \frac{z}{x^{2}+z^{2}} d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y}\int_{0}^{\sqrt{3}\,z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx\,dz\,dy.
Vamos primeiro integrar em x usando substituição, e depois em z e y.

Passo 2

Calcule
\int_{0}^{\sqrt{3}\,z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx.
Fazendo x=z\,t, então dx=z\,dt e os limites viram t=0 a t=\sqrt{3}. O integrando fica
\frac{z}{z^{2}t^{2}+z^{2}}\;z\,dt =\frac{z^{2}}{z^{2}(1+t^{2})}\,dt =\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
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\int_{0}^{\sqrt{3}z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx =\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =\bigl[\arctan(t)\bigr]_{0}^{\sqrt{3}} =\frac{\pi}{3}.

Passo 3

Substituindo no lugar da integral em x, fica
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y}\frac{\pi}{3}\,dz\,dy =\frac{\pi}{3}\int_{0}^{2}\Bigl[\int_{0}^{y}dz\Bigr]dy =\frac{\pi}{3}\int_{0}^{2}y\,dy =\frac{\pi}{3}\cdot\frac{2^{2}}{2} =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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