Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{x} \int_{1}^{x+x y} x y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=1}^{\,x + x y}x\,y\;dz\;dy\;dx.
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em iterações sucessivas: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, lembrando que x\,y é constante em relação a z:
\int_{z=1}^{\,x+x y}x\,y\;dz = x\,y\bigl[(x+xy)-1\bigr] = x\,y\bigl(x + x y - 1\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral dupla em y e x, obtemos
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\bigl[x\,y\,(x + x y -1)\bigr]dy\,dx =\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\bigl(x^{2}y + x^{2}y^{2}-x\,y\bigr)dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral em y de 0 a x:
\int_{0}^{x}x^{2}y\,dy =\frac{x^{4}}{2},\quad \int_{0}^{x}x^{2}y^{2}\,dy =\frac{x^{5}}{3},\quad \int_{0}^{x}x\,y\,dy =\frac{x^{3}}{2}.
Logo o resultado parcial é
\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{3}-\frac{x^{3}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x de 1 a 2, termo a termo:
\int_{1}^{2}\frac{x^{5}}{3}dx =\frac{1}{3}\,\frac{x^{6}}{6}\Big|_{1}^{2} =\frac{63}{18} =\frac{7}{2},
\int_{1}^{2}\frac{x^{4}}{2}dx =\frac{1}{2}\,\frac{x^{5}}{5}\Big|_{1}^{2} =\frac{31}{10}, \quad \int_{1}^{2}\frac{x^{3}}{2}dx =\frac{1}{2}\,\frac{x^{4}}{4}\Big|_{1}^{2} =\frac{15}{8}.
Somando os dois primeiros e subtraindo o terceiro:
\frac{7}{2} + \frac{31}{10} - \frac{15}{8} =\frac{140}{40} + \frac{124}{40} - \frac{75}{40} =\frac{189}{40}.

Resposta

\displaystyle \frac{189}{40}

Exercícios relacionados