Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
\int_{-1}^{0} \int_{e}^{2 e} \int_{0}^{\pi / 3} y \ln z \operatorname{tg} x d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=-1}^{0}\int_{z=e}^{2e}\int_{x=0}^{\pi/3}y\ln(z)\,\tan(x)\,dx\,dz\,dy.
Como o integrando se separa em produto de funções de x, z e y, podemos usar a propriedade
\int y\ln(z)\tan(x)\,dx\,dz\,dy =\Bigl(\int y\,dy\Bigr)\Bigl(\int \ln(z)\,dz\Bigr)\Bigl(\int \tan(x)\,dx\Bigr).

Passo 2

Calcular
\int_{0}^{\pi/3}\tan(x)\,dx.
Sabemos que
\int \tan(x)\,dx=-\ln\bigl|\cos(x)\bigr|+C.
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\int_{0}^{\pi/3}\tan(x)\,dx =-\ln\bigl|\cos(\pi/3)\bigr|+\ln\bigl|\cos(0)\bigr| =-\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)+\ln(1) =\ln2.

Passo 3

Calcular
\int_{e}^{2e}\ln(z)\,dz.
Usamos \int\ln(z)\,dz=z\ln(z)-z+C. Então
\int_{e}^{2e}\ln(z)\,dz =\bigl[\,z\ln(z)-z\,\bigr]_{e}^{2e} =\bigl(2e\ln(2e)-2e\bigr)-\bigl(e\ln(e)-e\bigr) =2e(\ln2+1)-2e-(e-e) =2e\ln2.

Passo 4

Calcular
\int_{-1}^{0}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{0} =0-\tfrac{1}{2} =-\tfrac12.

Passo 5

Multiplicando os resultados dos três integrais:
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\times\bigl(2e\ln2\bigr)\times(\ln2) =-e(\ln2)^{2}.

Resposta

-e(\ln2)^{2}.

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