(
Questão - 1,5 ponto)
Calcule
, onde
é a curva fechada definida por
e
,
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada
. A função que vamos integrar é
. A curva
é definida pelas equações
e
no intervalo
.
Pra resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha em curvas fechadas com integrais duplas sobre a região limitada por essas curvas. Precisamos entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a seguinte igualdade vale:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, vamos identificar a região
delimitada pela curva
. As curvas são
e
, no intervalo
.
Vamos desenhar rapidamente essas curvas:
-
é uma parábola que abre para cima. -
é uma linha reta que desce da esquerda para a direita.
No intervalo dado, essas curvas se interceptam em
:
Então, a região
está entre
(de baixo) e
(de cima), de
a
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla usando as informações acima. A integral será:
Mas é mais fácil integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, os limites de integração para
vão de
até
, e para
, de
até
.
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar a parte interna primeiro, ou seja, em relação a
:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada completa é:
Passo 8
Vamos agora avaliar essa antiderivada de
a
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Simplificando:
Vamos converter para um denominador comum, que é 420:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.