( 3^a Questão - 1,5 ponto)
Calcule ointC(x^2+y^2) d x+(x y^2) d y, onde C é a curva fechada definida por y=x^2 e y=-x, -1 <= x <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada C . A função que vamos integrar é (x^2 + y^2) , dx + (x y^2) , dy . A curva C é definida pelas equações y = x^2 e y = -x no intervalo -1 <= x <= 0 .
Pra resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha em curvas fechadas com integrais duplas sobre a região limitada por essas curvas. Precisamos entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, a seguinte igualdade vale:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, P = x^2 + y^2 e Q = x y^2 . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - 2y

Passo 4

Agora, vamos identificar a região D delimitada pela curva C . As curvas são y = x^2 e y = -x , no intervalo -1 <= x <= 0 .
Vamos desenhar rapidamente essas curvas:
  • y = x^2 é uma parábola que abre para cima.
  • y = -x é uma linha reta que desce da esquerda para a direita.
No intervalo dado, essas curvas se interceptam em x = -1 :
y = (-1)^2 = 1 e y = -(-1) = 1
Então, a região D está entre y = x^2 (de baixo) e y = -x (de cima), de x = -1 a x = 0 .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla usando as informações acima. A integral será:
integral duplaD (y^2 - 2y) , dx , dy
Mas é mais fácil integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x . Então, os limites de integração para y vão de y = x^2 até y = -x , e para x , de -1 até 0 .
Assim, a integral fica:
integralx=-1^0 integraly=x^2^-x (y^2 - 2y) , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar a parte interna primeiro, ou seja, em relação a y :
integraly=x^2^-x (y^2 - 2y) , dy
Integrando termo a termo:
integral (y^2 - 2y) , dy = y^33 - y^2
Agora, avaliamos de y = x^2 a y = -x :
[ (-x)^33 - (-x)^2 ] - [ (x^2)^33 - (x^2)^2 ]
Simplificando cada termo:
-x^33 - x^2 - ( x^63 - x^4 ) = -x^33 - x^2 - x^63 + x^4

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x de -1 a 0 :
integral-1^0 ( -x^33 - x^2 - x^63 + x^4 ) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral -x^33 , dx = -x^412
integral -x^2 , dx = -x^33
integral -x^63 , dx = -x^721
integral x^4 , dx = x^55
Então, a antiderivada completa é:
-x^412 - x^33 - x^721 + x^55

Passo 8

Vamos agora avaliar essa antiderivada de x = -1 a x = 0 .
Primeiro, para x = 0 :
0^412 - 0^33 - 0^721 + 0^55 = 0
Agora, para x = -1 :
-(-1)^412 - (-1)^33 - (-1)^721 + (-1)^55 = -112 - ( -13 ) - ( -121 ) + ( -15 )
Simplificando:
-112 + 13 + 121 - 15
Vamos converter para um denominador comum, que é 420:
-35420 + 140420 + 20420 - 84420 = -35 + 140 + 20 - 84420 = 41420

Resposta

Portanto, o valor da integral é 41420 .

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