Para estes exercícios, considerar r e s escalares, \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} vetores e \mathbf{T}, \mathbf{S} tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
\nabla \cdot \mathbf{u v}=\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{v}+\mathbf{v} \nabla \cdot \mathbf{u}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de cálculo vetorial envolvendo o produto dyádico de dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}:
\nabla \cdot (\mathbf{u}\,\mathbf{v}) \;=\;\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{v}\;+\;\mathbf{v}\,(\nabla\cdot\mathbf{u}).
O conteúdo principal é álgebra tensorial e derivadas parciais. Vamos usar a notação de índices para definir o produto dyádico e a divergência de um tensor de segunda ordem.

Passo 2

Definimos o produto dyádico \mathbf{u}\,\mathbf{v} por suas componentes
(\mathbf{u}\,\mathbf{v})_{ij} \;=\; u_i\,v_j.
A divergência de um tensor de segunda ordem \mathbf{T} é o vetor cujas componentes são
(\nabla\cdot \mathbf{T})_{j} \;=\;\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_i},
onde há soma sobre o índice repetido i.

Passo 3

Aplicando essa definição ao tensor \mathbf{u}\,\mathbf{v}, temos
(\nabla\cdot(\mathbf{u}\,\mathbf{v}))_{j} =\frac{\partial}{\partial x_i}(u_i\,v_j).
Usando a regra do produto para derivadas parciais,
\frac{\partial}{\partial x_i}(u_i\,v_j) =\frac{\partial u_i}{\partial x_i}\,v_j \;+\;u_i\,\frac{\partial v_j}{\partial x_i}.

Passo 4

Reconhecemos que \partial u_i/\partial x_i = (\nabla\cdot\mathbf{u}) e que
u_i\,\frac{\partial v_j}{\partial x_i} = (\mathbf{u}\cdot\nabla v)_j.
Logo, em componente j,
(\nabla\cdot(\mathbf{u}\,\mathbf{v}))_{j} =v_j\,(\nabla\cdot\mathbf{u}) \;+\;(\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{v})_{j}.
Por fim, escrevendo em forma vetorial:
\nabla\cdot(\mathbf{u}\,\mathbf{v}) =\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{v}+\mathbf{v}\,(\nabla\cdot\mathbf{u}).

Resposta

\nabla\cdot(\mathbf{u}\,\mathbf{v}) =\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{v}+\mathbf{v}\,(\nabla\cdot\mathbf{u}).

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