Para estes exercícios, considerar r e s escalares, \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} vetores e \mathbf{T}, \mathbf{S} tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
\mathbf{T}: \mathbf{u v}=(\mathbf{T} \cdot \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de tensores e vetores
\mathbf{T} : (\mathbf{u}\,\mathbf{v}) \;=\; (\mathbf{T}\cdot\mathbf{u})\cdot\mathbf{v},
onde \mathbf{u}\,\mathbf{v} é o produto dyádico (tensor de segunda ordem). Vamos usar notação de índices para fazer a prova de forma direta.

Passo 2

Pelo produto dyádico, o tensor \mathbf{u}\,\mathbf{v} tem componentes
(\mathbf{u}\,\mathbf{v})_{ij} = u_i\,v_j.
A contração de dois tensores de segunda ordem \mathbf{A} e \mathbf{B} é definida como
\mathbf{A}:\mathbf{B} = A_{ij}\,B_{ij}.
Aplicando isso a \mathbf{T}:(\mathbf{u}\,\mathbf{v}) obtemos
\mathbf{T}:(\mathbf{u}\,\mathbf{v}) = T_{ij}\,(\mathbf{u}\,\mathbf{v})_{ij} = T_{ij}\,u_i\,v_j.

Passo 3

Agora calculamos primeiro \mathbf{T}\cdot\mathbf{u}. Essa é uma vetor cujas componentes são
(\mathbf{T}\cdot\mathbf{u})_{j} = T_{ij}\,u_i.
Em seguida, fazemos o produto escalar desse vetor com \mathbf{v}:
(\mathbf{T}\cdot\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = (\mathbf{T}\cdot\mathbf{u})_{j}\,v_j = T_{ij}\,u_i\,v_j.

Passo 4

Observamos que as duas expressões encontradas são idênticas:
\mathbf{T}:(\mathbf{u}\,\mathbf{v}) = T_{ij}\,u_i\,v_j \quad\text{e}\quad (\mathbf{T}\cdot\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = T_{ij}\,u_i\,v_j.
Logo, a identidade está demonstrada.

Resposta

\mathbf{T}:(\mathbf{u}\,\mathbf{v}) = (\mathbf{T}\cdot\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}.

Exercícios relacionados