Questão 4: (2,5 pontos) Assinale (V) para as afirmações verdadeiras e (F) para as afirmações falsas. Utilize demonstrações ou contra-exemplos para justificar cada item.
(a) ( ) Existe uma transformação linear T: P_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} injetora.
(b) ( ) A aplicação T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, dada por T(A)=\operatorname{det} A é uma transformação linear.
(c) ( ) Se V e W são espaços vetoriais sobre \mathbb{K} de mesma dimensão n e T: V \rightarrow W é um isomorfismo, então T leva base de V em uma base de W.
(d) ( ) O operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dado por T(x, y)=(-3 x+4 y,-x+2 y) é diagonalizável.
(e) ( ) Existe transformação linear T tal que N(T)=\operatorname{Im}(T).
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cinco afirmações sobre transformações lineares como verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando cada resposta. Os tópicos envolvidos são dimensões de espaços vetoriais e injeção (item a), linearidade do determinante (b), isomorfismos e imagens de bases (c), diagonalização de operadores em \mathbb{R}^2 (d) e a relação entre núcleo e imagem de uma aplicação linear (e).
Passo 2
(a) Diz-se existir T: P_{3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{3} injetora. Mas \dim P_{3}(\mathbb{R})=4 e \dim\mathbb{R}^{3}=3. Pela desigualdade fundamental de dimensões, se T fosse injetora teríamos
o que contradiz \rank T\le\dim\mathbb{R}^{3}=3. Logo não existe tal T.
(b) A aplicação T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} dada por T(A)=\det A não é linear, pois em geral
\det(A+B)\neq\det A+\det B.
Por exemplo, para A=I e B=I em M_2(\mathbb{R}) temos \det(A+B)=\det(2I)=4 mas \det A+\det B=1+1=2. Portanto T não satisfaz T(A+B)=T(A)+T(B).
(c) Se T\colon V\to W é um isomorfismo entre espaços de mesma dimensão n, então T é bijetora. Seja \mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n) base de V. Como T é injetora, \{T(v_i)\} é linearmente independente em W; como é sobrejetora, gera W. Logo \{T(v_i)\} é base de W.
(d) O operador T(x,y)=(-3x+4y,\,-x+2y) tem matriz
A = \begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.