Para estes exercícios, considerar r e s escalares, \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} vetores e \mathbf{T}, \mathbf{S} tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
\nabla \cdot(s \mathbf{v})=\mathbf{v} \cdot \nabla s+s(\nabla \cdot \mathbf{v})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de divergência de um produto escalar-vetor: dado um escalar s e um vetor \mathbf{v}, provar que
\nabla \cdot\bigl(s\,\mathbf{v}\bigr) = \mathbf{v}\cdot\nabla s + s\,\bigl(\nabla \cdot \mathbf{v}\bigr).
Vamos usar a notação de índices (convenção de Einstein) e a regra do produto de derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos a divergência em componentes. Se \mathbf{v}=(v_i), então
\nabla \cdot\bigl(s\,\mathbf{v}\bigr) = \frac{\partial}{\partial x_i}\bigl(s\,v_i\bigr),
onde pelo somatório de Einstein somamos sobre i=1,2,3.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto dentro da derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x_i}\bigl(s\,v_i\bigr) = \frac{\partial s}{\partial x_i}\,v_i + s\,\frac{\partial v_i}{\partial x_i}.

Passo 4

Reconhecemos os dois termos:
  • \displaystyle \frac{\partial s}{\partial x_i}\,v_i é exatamente \mathbf{v}\cdot\nabla s.
  • \displaystyle \frac{\partial v_i}{\partial x_i} é a definição de \nabla\cdot\mathbf{v}.
    Logo, reunindo os termos, obtemos
\nabla \cdot\bigl(s\,\mathbf{v}\bigr) = \mathbf{v}\cdot\nabla s + s\,\bigl(\nabla \cdot \mathbf{v}\bigr),
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\nabla \cdot(s\,\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot\nabla s+s\,(\nabla \cdot \mathbf{v})

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