Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores e
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
Mostrar que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a divergência do rotacional de um campo vetorial
é sempre zero, ou seja,
O conteúdo principal aqui é cálculo vetorial, e vamos usar a notação de índices de Einstein junto com o símbolo de Levi-Civita
e a propriedade de comutação das derivadas parciais para chegar ao resultado.
Passo 2
Escrevemos cada operador em forma de componentes. A componente
do rotacional de
é
onde
. Logo, a divergência desse rotacional fica
Passo 3
Como
não depende da posição, ele sai da derivada, e temos
Além disso, assumimos que
é suficientemente suave, de modo que as derivadas parciais comutam:
Passo 4
A condição de comutação faz o produto
simétrico em
e
, enquanto
é totalmente antissimétrico nessas mesmas duas posições. Quando você contrai um tensor simétrico com um antissimétrico nas mesmas componentes, o resultado é zero. Formalmente,