Para estes exercícios, considerar r e s escalares, \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} vetores e \mathbf{T}, \mathbf{S} tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{v})=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a divergência do rotacional de um campo vetorial \mathbf{v} é sempre zero, ou seja,
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) = 0.
O conteúdo principal aqui é cálculo vetorial, e vamos usar a notação de índices de Einstein junto com o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} e a propriedade de comutação das derivadas parciais para chegar ao resultado.

Passo 2

Escrevemos cada operador em forma de componentes. A componente i do rotacional de \mathbf{v} é
(\nabla \times \mathbf{v})_i = \epsilon_{ijk}\,\partial_j v_k,
onde \partial_j\equiv\frac{\partial}{\partial x_j}. Logo, a divergência desse rotacional fica
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) = \partial_i\bigl((\nabla \times \mathbf{v})_i\bigr) = \partial_i\bigl(\epsilon_{ijk}\,\partial_j v_k\bigr).

Passo 3

Como \epsilon_{ijk} não depende da posição, ele sai da derivada, e temos
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) = \epsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j v_k.
Além disso, assumimos que \mathbf{v} é suficientemente suave, de modo que as derivadas parciais comutam:
\partial_i\partial_j v_k = \partial_j\partial_i v_k.

Passo 4

A condição de comutação faz o produto \partial_i\partial_j v_k simétrico em i e j, enquanto \epsilon_{ijk} é totalmente antissimétrico nessas mesmas duas posições. Quando você contrai um tensor simétrico com um antissimétrico nas mesmas componentes, o resultado é zero. Formalmente,
\epsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j v_k = -\epsilon_{jik}\,\partial_j\partial_i v_k = -\epsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j v_k \quad\Longrightarrow\quad \epsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j v_k = 0.

Resposta

\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) = 0.

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