Para estes exercícios, considerar r e s escalares, \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} vetores e \mathbf{T}, \mathbf{S} tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
\nabla \cdot(\mathbf{T} \cdot \mathbf{v})=\mathbf{T}: \nabla \mathbf{v}+\mathbf{v} \cdot(\nabla \cdot \mathbf{T}) se \mathbf{T} for um tensor simétrico \left(\mathbf{T}_{i j}=\mathbf{T}_{j i}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um tensor de segunda ordem simétrico \mathbf{T} e um campo vetorial \mathbf{v}, vale
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) =\mathbf{T}:\nabla\mathbf{v} +\mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T})\,.
Aqui usaremos notação de índices (convenção de soma de Einstein), definindo \;(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v})_i=T_{ij}\,v_j, \;(\nabla\cdot\mathbf{T})_j=\partial_i T_{ij} e \;(\nabla\mathbf{v})_{ij}=\partial_j v_i.

Passo 2

Escrevemos a divergência do produto \mathbf{T}\cdot\mathbf{v} em componentes:
\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) =\partial_i\bigl(T_{ij}\,v_j\bigr)\,.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto de derivação a cada componente:
\partial_i\bigl(T_{ij}\,v_j\bigr) =(\partial_i T_{ij})\,v_j +T_{ij}\,(\partial_i v_j)\,.

Passo 4

Agora identificamos cada termo:
  1. (\partial_i T_{ij})\,v_j = v_j\,(\partial_i T_{ij}) =\mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T}).
  2. T_{ij}\,(\partial_i v_j) é quase a contração \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}, mas note que \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}=T_{ij}\,(\nabla\mathbf{v})_{ij} =T_{ij}\,(\partial_j v_i).
    Como \mathbf{T} é simétrico T_{ij}=T_{ji}, podemos trocar índices em T_{ij}\,(\partial_i v_j) e obter:
T_{ij}\,(\partial_i v_j) = T_{ji}\,(\partial_i v_j) = T_{ij}\,(\partial_j v_i) = \mathbf{T}:\nabla\mathbf{v}\,.

Resposta

\nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v}) =\mathbf{T}:\nabla\mathbf{v} +\mathbf{v}\cdot(\nabla\cdot\mathbf{T})\,.

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