Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
\nabla \cdot \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado pede a divergência de um campo vetorial \mathbf{v} em coordenadas cartesianas, usando álgebra tensorial. O conteúdo principal é a contração de índices e a relação entre derivada covariante e derivada parcial em espaço euclidiano. Vamos usar o fato de que em coordenadas cartesianas o tensor métrico é \delta_{ij} e que a derivada covariante coincide com a parcial.

Passo 2

Em notação tensorial a divergência de \mathbf{v} é a contração do operador nabla com o vetor, ou seja
\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla_{i} v^{i}.
Aqui \nabla_{i} é a derivada covariante e v^{i} são as componentes contravariantes de \mathbf{v}.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, o espaço é euclidiano plano ou espacial, de modo que a conexão de Levi-Civita tem componentes nulas e portanto
\nabla_{i} v^{i} = \partial_{i} v^{i}.
Isso significa que podemos trocar derivada covariante por derivada parcial.

Passo 4

O índice repetido i indica soma de 1 a 3. Logo
\partial_{i} v^{i} = \partial_{1}v^{1} + \partial_{2}v^{2} + \partial_{3}v^{3}.
Em coordenadas cartesianas usuais identificamos
v^{1}=v_{x},\quad v^{2}=v_{y},\quad v^{3}=v_{z},
e \partial_{1}=\frac{\partial}{\partial x}, \partial_{2}=\frac{\partial}{\partial y}, \partial_{3}=\frac{\partial}{\partial z}.

Resposta

\nabla \cdot \mathbf{v} = \partial_{x}v_{x} + \partial_{y}v_{y} + \partial_{z}v_{z}.

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