Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
\nabla \cdot \mathbf{v}
\nabla \cdot \mathbf{v}
Passo 1
O enunciado pede a divergência de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas, usando álgebra tensorial. O conteúdo principal é a contração de índices e a relação entre derivada covariante e derivada parcial em espaço euclidiano. Vamos usar o fato de que em coordenadas cartesianas o tensor métrico é
e que a derivada covariante coincide com a parcial.
Passo 2
Em notação tensorial a divergência de
é a contração do operador nabla com o vetor, ou seja
Aqui
é a derivada covariante e
são as componentes contravariantes de
.
Passo 3
Em coordenadas cartesianas, o espaço é euclidiano plano ou espacial, de modo que a conexão de Levi-Civita tem componentes nulas e portanto
Isso significa que podemos trocar derivada covariante por derivada parcial.
Passo 4
O índice repetido
indica soma de
a
. Logo
Em coordenadas cartesianas usuais identificamos
e
,
,
.