2^{a} Questão (3 pontos) Para a equação Swamee e Jain (1976), aplicada em escoamento em um tubo: (a) Utilizar o sistema MLT para determinar as dimensões de h_{L}, sendo " D, L, e ’ o diâmetro, comprimento e a rugosidade (em mm) do tubo respectivamente, Q é a vazão em volume. g é a aceleração da gravidade e v é a viscosidade cinemática (usar a \tau para cálculo da viscosidade): (b) Verificar se a equação é dimensionalmente homogênea.
Dados: v=\frac{\mu}{\rho}, sendo: \mu= viscosidade dinâmica; \rho= massa especifica.
\tau=\mu \frac{d u}{d y}, sendo: \tau= tensão de cisalhamento; d u= velocidade; d y= deslocamento em y.
h_{L}=1,07 \frac{Q^{2} . L}{g . D^{5}}\left\{\ln \left[\frac{e}{3.7 D}+4,62\left(\frac{v . D}{Q}\right)^{0.9}\right]\right\}^{-2}
Equação de Swamee e Jain

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Swamee e Jain para perda de carga h_{L} em escoamento interno, a saber
h_{L} = 1,07\, \frac{Q^{2}\,L}{g\,D^{5}} \biggl\{\ln\Bigl[\frac{e}{3{,}7\,D} +4{,}62\Bigl(\frac{v\,D}{Q}\Bigr)^{0,9}\Bigr]\biggr\}^{-2}
e pede (a) usar o sistema MLT para determinar as dimensões de h_{L} e (b) verificar se a equação é dimensionalmente homogênea. Vamos precisar das dimensões de cada variável no sistema MLT.

Passo 2

Listamos as dimensões no sistema MLT ( M=massa, L=comprimento, T=tempo): \;– Vazão volêmica Q: \bigl[Q\bigr]=\dfrac{\text{volume}}{\text{tempo}}=\dfrac{L^{3}}{T}. \;– Comprimento L, diâmetro D e rugosidade e: todos \bigl[L\bigr]=L. \;– Aceleração da gravidade g: \bigl[g\bigr]=\dfrac{L}{T^{2}}. \;– Viscosidade cinemática v=\dfrac{\mu}{\rho}: como \mu (dinâmica) tem \bigl[\mu\bigr]=\dfrac{M}{L\,T} e \rho =\dfrac{M}{L^{3}}, obtemos
\bigl[v\bigr] = \frac{\bigl[\mu\bigr]}{\bigl[\rho\bigr]} = \frac{M/(L\,T)}{M/L^{3}} = \frac{L^{3}}{L\,T} = \frac{L^{2}}{T}\,.

Passo 3

Determinamos as dimensões do fator principal \displaystyle \frac{Q^{2}\,L}{g\,D^{5}}.
Numerador:
\bigl[Q^{2}\,L\bigr] = \bigl[Q\bigr]^{2}\,[L] = \Bigl(\frac{L^{3}}{T}\Bigr)^{2}\;L = \frac{L^{6}}{T^{2}}\;L = \frac{L^{7}}{T^{2}}.
Denominador:
\bigl[g\,D^{5}\bigr] = \frac{L}{T^{2}}\;L^{5} = \frac{L^{6}}{T^{2}}.
Logo,
\left[\frac{Q^{2}L}{g\,D^{5}}\right] = \frac{L^{7}/T^{2}}{L^{6}/T^{2}} = L.

Passo 4

Analisamos o argumento do logaritmo para ver se é adimensional.
Termo 1: \displaystyle \frac{e}{3{,}7\,D} tem dimensão
\frac{[e]}{[D]}=\frac{L}{L}=1.
Termo 2: \displaystyle \Bigl(\frac{v\,D}{Q}\Bigr)^{0,9} tem dimensão
\frac{[v]\,[D]}{[Q]} = \frac{(L^{2}/T)\,L}{L^{3}/T} = \frac{L^{3}/T}{L^{3}/T} =1,
logo elevado a 0,9 continua adimensional. A soma dentro do \ln é, portanto, adimensional, e o quadrado inverso do log também.

Passo 5

Como o fator numérico 1,07 é adimensional, concluímos que
\bigl[h_{L}\bigr] = \bigl[\tfrac{Q^{2}L}{g\,D^{5}}\bigr] \;\times\; \bigl\{\ln(\dots)\bigr\}^{-2} = L\times1 = L.
Logo h_{L} tem dimensão de comprimento e a equação é dimensionalmente homogênea.

Resposta

(a) \bigl[h_{L}\bigr]=L.
(b) A equação é dimensionalmente homogênea.

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