Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Um vetor paralelo a \overrightarrow{\mathrm{u}} e de módulo 9 .

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede um vetor paralelo a \overrightarrow{\mathrm{u}} com módulo 9. Informações relevantes que aparecem no enunciado:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}.
O que é pedido: encontrar um vetor que seja paralelo a \overrightarrow{\mathrm{u}} e cujo módulo (norma) seja 9.

Passo 2

Entendendo o que significa “vetor paralelo” e como construir um com módulo dado.
Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, um vetor \overrightarrow{\mathrm{a}} paralelo a \overrightarrow{\mathrm{u}} pode ser escrito como
\overrightarrow{\mathrm{a}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{u}}
para algum escalar \lambda\in\mathbb{R}. Aqui \lambda controla o comprimento e a direção: se \lambda>0 mantém a mesma direção, se \lambda<0 inverte a direção.

Passo 3

Relação entre módulo e \lambda. A norma (módulo) satisfaz
\|\overrightarrow{\mathrm{a}}\|=\|\lambda\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=|\lambda|\,\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|.
Para obter \|\overrightarrow{\mathrm{a}}\|=9 precisamos de |\lambda|=\dfrac{9}{\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|}. Portanto devemos calcular \|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|.

Passo 4

Cálculo do módulo de \overrightarrow{\mathrm{u}}. A norma de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Aplicando a \overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}} temos:
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Determinar \lambda. Usando |\lambda|=\dfrac{9}{\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|} obtemos
|\lambda|=\dfrac{9}{3}=3.
Portanto \lambda pode ser 3 (mesma direção) ou -3 (direção oposta). Para responder basta escolher um dos dois; aqui escolho \lambda=3 para manter a mesma direção de \overrightarrow{\mathrm{u}}.

Passo 6

Construir o vetor pedido multiplicando \overrightarrow{\mathrm{u}} por \lambda=3:
\overrightarrow{\mathrm{a}}=3\overrightarrow{\mathrm{u}}=3\bigl(2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}\bigr)=6\overrightarrow{\mathrm{i}}-3\overrightarrow{\mathrm{j}}+6\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Verificação rápida do módulo:
\|\overrightarrow{\mathrm{a}}\|=|3|\,\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=3\cdot 3=9,
logo está correto.

Resposta

\,6\overrightarrow{\mathrm{i}}-3\overrightarrow{\mathrm{j}}+6\overrightarrow{\mathrm{k}}\,

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