Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Um vetor unitário ortogonal aos vetores \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}.

Passo 1

O enunciado pede: um vetor unitário ortogonal aos vetores dados.
Dados fornecidos no enunciado:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}
\overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}
\overrightarrow{\mathrm{w}}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}
Observação: a pergunta solicita apenas um vetor unitário ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}. (O vetor \overrightarrow{\mathrm{w}} foi dado, mas não é necessário para esta parte.)

Passo 2

Escolha do método e conceito-chave (explicação didática): para encontrar um vetor ortogonal a dois vetores em \mathbb{R}^3 usamos o produto vetorial (cross product).
  • O produto vetorial de dois vetores \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b} produz um vetor \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} ortogonal a ambos.
  • Fórmula prática (usando determinante com as base vetoriais \overrightarrow{\mathrm{i}},\overrightarrow{\mathrm{j}},\overrightarrow{\mathrm{k}}):
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}= \begin{vmatrix} \overrightarrow{\mathrm{i}} & \overrightarrow{\mathrm{j}} & \overrightarrow{\mathrm{k}}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}
Isto significa calcular componentes:
(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
Depois, para obter um vetor unitário, dividimos esse vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor \overrightarrow{z}=(z_1,z_2,z_3) é
\|\overrightarrow{z}\|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+z_3^2}.]

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: escrevo as componentes de \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,\,-1,\,2),\qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=(5,\,5,\,-2).
Agora calculo \overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}} usando as fórmulas das componentes:
(\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}})_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot(-2) - 2\cdot 5 = 2 - 10 = -8,
(\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}})_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 = 2\cdot 5 - 2\cdot(-2) = 10 - (-4) = 14,
(\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}})_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 2\cdot 5 - (-1)\cdot 5 = 10 - (-5) = 15.
Logo
\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}} = -8\overrightarrow{\mathrm{i}} + 14\overrightarrow{\mathrm{j}} + 15\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 4

Checagem (bom hábito): verifico que este vetor é realmente ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{u}} e a \overrightarrow{\mathrm{v}} calculando produtos internos (dot products).
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}})= 2\cdot(-8)+(-1)\cdot14+2\cdot15=-16-14+30=0,
\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}})= 5\cdot(-8)+5\cdot14+(-2)\cdot15=-40+70-30=0.
Como os dois produtos deram zero, o vetor está corretamente ortogonal a ambos.

Passo 5

Agora torno esse vetor unitário: calculo a norma de \overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}}:
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}}\|=\sqrt{(-8)^2+14^2+15^2}=\sqrt{64+196+225}=\sqrt{485}.
Portanto o vetor unitário na direção de \overrightarrow{\mathrm{u}}\times\overrightarrow{\mathrm{v}} é
\frac{1}{\sqrt{485}}\big(-8\overrightarrow{\mathrm{i}}+14\overrightarrow{\mathrm{j}}+15\overrightarrow{\mathrm{k}}\big).

Passo 6

Observação final pedagógica e dica para a prova: qualquer múltiplo unitário com sinal invertido também é aceitável, isto é, a versão negativa
-\frac{1}{\sqrt{485}}\big(-8\overrightarrow{\mathrm{i}}+14\overrightarrow{\mathrm{j}}+15\overrightarrow{\mathrm{k}}\big)=\frac{1}{\sqrt{485}}\big(8\overrightarrow{\mathrm{i}}-14\overrightarrow{\mathrm{j}}-15\overrightarrow{\mathrm{k}}\big)
é igualmente ortogonal; escolha o sentido conforme for conveniente. No entanto, apresentar uma das duas formas já responde ao pedido de “um vetor unitário ortogonal”.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{485}}\big(-8\overrightarrow{\mathrm{i}}+14\overrightarrow{\mathrm{j}}+15\overrightarrow{\mathrm{k}}\big)

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