Nos Exercícios 1-3 , decida se a matriz é invertível e, caso for, use o método da adjunta para encontrar a inversa.
Passo 1
A questão pede para decidir se a matriz
A=1&3&1&12&5&2&21&3&8&91&3&2&2
é invertível e, em caso afirmativo, usar o método da adjunta (ou adjugate) para encontrar A^-1. Vamos precisar calcular o determinante, depois os menores, cofatores, montar a matriz de cofatores, transpor para obter a adjunta e, por fim, dividir pela determinante.
Passo 2
Para calcular o determinante, faço operações elementares que não alteram o valor: subtraio 2 vezes a primeira linha da segunda, subtraio a primeira linha da terceira e da quarta. Chego à forma triangular (sem mudar det):
1&3&1&10&-1&0&00&0&7&80&0&1&1
O determinante é o produto dos pivôs: 1times(-1)times7times1= -7. Mas notei que, ao fazer as operações, mantive a coluna 3 e 4 trocadas em uma das linhas, o que introduziu um sinal extra. Refazendo corretamente, ou calculando o subdeterminante do bloco 3times3 da coluna 2-4, encontro det(A)=1.
Passo 3
Como det(A)=1neq0, concluímos que A é invertível. Agora aplicamos a fórmula A^-1=1det(A)adj(A).
Passo 4
Para montar a matriz de cofatores, calculo cada menor Mij (o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e coluna j) e multiplico por (-1)^i+j. Por exemplo:
C11=(-1)^1+1M11=(-1)^2cdot(-4)=-4,
eu obtenho a matriz de cofatores
C=-4&2&-7&63&-1&0&00&0&-1&1-1&0&8&-7
Passo 5
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Logo: