Exercícios deixados em aula!
Sejam a e b constantes não nulas. Verifique que a aplicação
\alpha(t)=(a \cos t, b \sin t), \quad t \in \mathbb{R}
é uma curva parametrizada diferenciável. Descreva o traço de \alpha. O que representa geometricamente o parâmetro t ?
Obtenha uma curva regular \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que
\alpha(0)=(2,0) \quad \text { e } \quad \alpha^{\prime}(t)=\left(t^{2}, e^{t}\right) .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Dados: a e b são constantes não nulas.
  • Função dada: \alpha(t)=(a\cos t,\; b\sin t), para t\in\mathbb{R}.
  • Pedidos relativos a essa \alpha:
    1. Verificar que a aplicação é uma curva parametrizada diferenciável.
    2. Descrever o traço de \alpha.
    3. Explicar geometricamente o que representa o parâmetro t.
  • Segundo exercício (novo pedido):
    • Obter uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 tal que \alpha(0)=(2,0) e \alpha'(t)=(t^2,e^t).

Passo 2

Provar que \alpha é diferenciável (ideia e definição prática).
  • Lembrete prático: uma aplicação \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é diferenciável se suas coordenadas são funções reais diferenciáveis. Aqui as coordenadas são x(t)=a\cos t e y(t)=b\sin t.
  • As funções elementares \cos t e \sin t são diferenciáveis em todos os t. Multiplicar por constantes a e b preserva a diferenciabilidade.
  • Conclusão: \alpha é diferenciável em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Calcular a derivada de \alpha e concluir sobre regularidade.
  • Derivando coordenada a coordenada:
\alpha'(t)=\bigl((a\cos t)'\;,\;(b\sin t)'\bigr)=\bigl(-a\sin t,\; b\cos t\bigr).
  • Explicação didática: foi usado que (\cos t)'=-\sin t e (\sin t)'=\cos t; multiplicar por constantes sai fora da derivada.
  • Verificar se \alpha'(t) pode ser o vetor nulo. Para \alpha'(t)= (0,0) seria necessário simultaneamente
-a\sin t=0\quad\text{e}\quad b\cos t=0.
Como a e b são não nulos, isso exige \sin t=0 e \cos t=0 ao mesmo tempo, o que é impossível. Portanto \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t.
  • Conclusão: \alpha é diferenciável e, além disso, é uma curva regular (derivada nunca nula).

Passo 4

Descrever o traço de \alpha (eliminação do parâmetro).
  • O traço é o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que existem t com x=a\cos t e y=b\sin t.
  • Eliminar t usando a identidade trigonométrica \cos^2 t+\sin^2 t=1. Dividir por a^2 e b^2 e somar:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
  • Isso dá a equação em x,y:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
que é a equação padrão de uma elipse centrada na origem.
  • Informação geométrica adicional (importante para a prova): os semi-eixos da elipse (semi-eixos maiores/minores) são |a| e |b|. Assim o traço é a elipse com centro em (0,0), semi-eixo horizontal |a| e semi-eixo vertical |b|.

Passo 5

Explicar geometricamente o que representa o parâmetro t.
  • Interpretação direta e útil: \alpha(t) é a imagem do ponto (\cos t,\sin t) do círculo unitário, escalado nas direções x e y por a e b. Ou seja,
\alpha(t)=(a\cos t,\; b\sin t)=\bigl(a,0\bigr)\cdot\cos t+\bigl(0,b\bigr)\cdot\sin t.
  • Assim t é o ângulo no círculo unitário que gera o ponto; geometricamente, aumenta e faz o ponto percorrer a elipse. Em particular:
    • Quando a=b (caso do círculo), t é exatamente o ângulo polar e o movimento tem velocidade angular constante e velocidade linear constante proporcional a |a|.
    • Quando a\neq b, t ainda representa o ângulo na construção a partir do círculo unitário, mas não é a coordenada de arco (não é o parâmetro de comprimento de arco): a velocidade linear varia com t.
  • Mostrar variação da velocidade para entender por que não é parâmetro de arco em geral:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(b\cos t)^2}=\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t}.
Se a\neq b, essa expressão depende de t, logo a velocidade é variável; só é constante quando |a|=|b|.
  • Orientação: se b>0 então, em t=0, \alpha(0)=(a,0) e \alpha'(0)=(0,b) aponta para cima, indicando que o ponto vai do extremo direito para cima — movimento no sentido anti-horário. Se b<0 a orientação inverte. O sinal de a também influencia a posição inicial.

Passo 6

Resolver o segundo exercício: encontrar \alpha sabendo \alpha'(t)=(t^2,e^t) e \alpha(0)=(2,0).
  • Procedimento: integrar componente a componente.
  • Integrar a primeira coordenada:
\int t^2\,dt=\frac{t^3}{3}+C_1.
  • Integrar a segunda coordenada:
\int e^t\,dt=e^t+C_2.
  • Assim uma primitiva geral é
\alpha(t)=\left(\frac{t^3}{3}+C_1,\; e^t+C_2\right).
  • Aplicar condição inicial \alpha(0)=(2,0). Avaliando em t=0:
\alpha(0)=\left(\frac{0^3}{3}+C_1,\; e^0+C_2\right)=(C_1,\;1+C_2)=(2,0).
Logo C_1=2 e 1+C_2=0 C_2=-1.
  • Portanto a curva procurada é
\alpha(t)=\left(\frac{t^3}{3}+2,\; e^t-1\right).

Passo 7

Verificar que a curva encontrada é regular.
  • Derivando a curva obtida:
\alpha'(t)=\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}+2\right),\;\frac{d}{dt}(e^t-1)\right)=(t^2,\; e^t),
o que coincide com a derivada exigida.
  • Para verificar regularidade: \alpha'(t)=(t^2,e^t). Note que a segunda componente e^t>0 para todo t, então \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t. Logo a curva é regular.

Resposta

\alpha(t)=(a\cos t,\;b\sin t) é diferenciável e regular, com \alpha'(t)=(-a\sin t,\;b\cos t).\newline
O traço de \alpha é a elipse \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, centrada na origem, com semi-eixos |a| e |b|.\newline
O parâmetro t é o ângulo do ponto correspondente no círculo unitário usado para gerar a elipse (ou seja, a construção parte de (\cos t,\sin t) e escala por a,b); ele determina a posição e a orientação do ponto na elipse, mas, em geral, não é o parâmetro de comprimento de arco (velocidade não constante, salvo quando |a|=|b|).\newline
Uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 com \alpha(0)=(2,0) e \alpha'(t)=(t^2,e^t) é \displaystyle \alpha(t)=\left(\frac{t^3}{3}+2,\; e^t-1\right).

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