Exercícios deixados em aula!
Sejam
e
constantes não nulas. Verifique que a aplicação
é uma curva parametrizada diferenciável. Descreva o traço de
. O que representa geometricamente o parâmetro
?
Obtenha uma curva regular
tal que
Sejam
Obtenha uma curva regular
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
- Dados:
e são constantes não nulas. - Função dada:
, para . - Pedidos relativos a essa
: - Verificar que a aplicação é uma curva parametrizada diferenciável.
- Descrever o traço de
. - Explicar geometricamente o que representa o parâmetro
.
- Segundo exercício (novo pedido):
- Obter uma curva regular
tal que e .
- Obter uma curva regular
Passo 2
Provar que
é diferenciável (ideia e definição prática).
- Lembrete prático: uma aplicação
é diferenciável se suas coordenadas são funções reais diferenciáveis. Aqui as coordenadas são e . - As funções elementares
e são diferenciáveis em todos os . Multiplicar por constantes e preserva a diferenciabilidade. - Conclusão:
é diferenciável em todo .
Passo 3
Calcular a derivada de
e concluir sobre regularidade.
- Derivando coordenada a coordenada:
- Explicação didática: foi usado que
e ; multiplicar por constantes sai fora da derivada. - Verificar se
pode ser o vetor nulo. Para seria necessário simultaneamente
Como
e
são não nulos, isso exige
e
ao mesmo tempo, o que é impossível. Portanto
para todo
.
- Conclusão:
é diferenciável e, além disso, é uma curva regular (derivada nunca nula).
Passo 4
Descrever o traço de
(eliminação do parâmetro).
- O traço é o conjunto de pontos
tais que existem com e . - Eliminar
usando a identidade trigonométrica . Dividir por e e somar:
- Isso dá a equação em
:
que é a equação padrão de uma elipse centrada na origem.
- Informação geométrica adicional (importante para a prova): os semi-eixos da elipse (semi-eixos maiores/minores) são
e . Assim o traço é a elipse com centro em , semi-eixo horizontal e semi-eixo vertical .
Passo 5
Explicar geometricamente o que representa o parâmetro
.
- Interpretação direta e útil:
é a imagem do ponto do círculo unitário, escalado nas direções e por e . Ou seja,
- Assim
é o ângulo no círculo unitário que gera o ponto; geometricamente, aumenta e faz o ponto percorrer a elipse. Em particular: - Quando
(caso do círculo), é exatamente o ângulo polar e o movimento tem velocidade angular constante e velocidade linear constante proporcional a . - Quando
, ainda representa o ângulo na construção a partir do círculo unitário, mas não é a coordenada de arco (não é o parâmetro de comprimento de arco): a velocidade linear varia com .
- Quando
- Mostrar variação da velocidade para entender por que não é parâmetro de arco em geral:
Se
, essa expressão depende de
, logo a velocidade é variável; só é constante quando
.
- Orientação: se
então, em , e aponta para cima, indicando que o ponto vai do extremo direito para cima — movimento no sentido anti-horário. Se a orientação inverte. O sinal de também influencia a posição inicial.
Passo 6
Resolver o segundo exercício: encontrar
sabendo
e
.
- Procedimento: integrar componente a componente.
- Integrar a primeira coordenada:
- Integrar a segunda coordenada:
- Assim uma primitiva geral é
- Aplicar condição inicial
. Avaliando em :
Logo
e
dá
.
- Portanto a curva procurada é
Passo 7
Verificar que a curva encontrada é regular.
- Derivando a curva obtida:
o que coincide com a derivada exigida.
- Para verificar regularidade:
. Note que a segunda componente para todo , então para todo . Logo a curva é regular.
Resposta
O traço de
O parâmetro
Uma curva regular