Nos Exercícios 5 a 8, determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
7.
7.
Passo 1
O enunciado pede verificar se as colunas da matriz
são linearmente independentes em
R^3 . O conteúdo é independência linear de vetores, e usaremos a definição: as colunas
v1,v2,v3,v4 são independentes se a única solução do sistema
for a trivial
x1=x2=x3=x4=0 .
Passo 2
Denotemos
Procuramos escalares
a,b,c,d tais que
Passo 3
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
Passo 4
Da primeira equação temos
a = -4b + 3c . Substituindo nas outras duas, chega-se a
Escolhendo
c=1 (não nulo) obtemos a combinação não trivial
Passo 5
Como existe uma combinação linear não trivial que zera os vetores, concluímos que as colunas são linearmente dependentes.
Resposta
As colunas são linearmente dependentes, pois satisfazem
3v1 + v3 + v4 = 0 .