Nos Exercícios 5 a 8, determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
7. [rrrr1 & 4 & -3 & 0 -2 & -7 & 5 & 1 -4 & -5 & 7 & 5]

Passo 1

O enunciado pede verificar se as colunas da matriz
A = 1 & 4 & -3 & 0 -2 & -7 & 5 & 1 -4 & -5 & 7 & 5
são linearmente independentes em R^3. O conteúdo é independência linear de vetores, e usaremos a definição: as colunas v1,v2,v3,v4 são independentes se a única solução do sistema
x1,v1 + x2,v2 + x3,v3 + x4,v4 = 0
for a trivial x1=x2=x3=x4=0.

Passo 2

Denotemos
v1 = (1,,-2,,-4), v2=(4,,-7,,-5), v3=(-3,,5,,7), v4=(0,,1,,5)
Procuramos escalares a,b,c,d tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = (0,0,0)

Passo 3

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
a + 4b -3c + 0d = 0, -2a -7b +5c + d = 0, -4a -5b +7c + 5d = 0

Passo 4

Da primeira equação temos a = -4b + 3c. Substituindo nas outras duas, chega-se a
b = 0, d = c, a = 3c
Escolhendo c=1 (não nulo) obtemos a combinação não trivial
3,v1 ;+; 0cdot v2 ;+; 1cdot v3 ;+; 1cdot v4 ;=;(0,0,0)

Passo 5

Como existe uma combinação linear não trivial que zera os vetores, concluímos que as colunas são linearmente dependentes.

Resposta

As colunas são linearmente dependentes, pois satisfazem 3v1 + v3 + v4 = 0.

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