Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores (x, y) de R^2 com x >= 0, y >= 0 (isto é, o primeiro quadrante), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 onde x >= 0 e y >= 0 (ou seja, o primeiro quadrante) com as operações normais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende a todas essas regras.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial precisa cumprir uma série de axiomas, que são como regras que as operações de adição e multiplicação por escalar devem seguir. Esses axiomas garantem que a estrutura seja consistente e que possamos fazer operações sem problemas. Vamos ver os principais:
  1. Fechamento sob a adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
  2. Fechamento sob a multiplicação escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Existência do vetor zero: Deve existir um vetor no conjunto que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda este último.
  4. Existência de aditivos inversos: Para cada vetor, deve existir outro no conjunto que, somados, dão o vetor zero.
  5. Associatividade e comutatividade da adição, entre outros.
Vamos verificar cada um desses para o nosso conjunto.

Passo 3

Fechamento sob a adição: Se pegarmos dois vetores no primeiro quadrante, por exemplo, (2, 3) e (1, 4), e somarmos, teremos (3, 7). Ambos os componentes são positivos, então a soma está no conjunto. Isso parece bom.
Fechamento sob a multiplicação escalar: Aqui é onde pode complicar. Se multiplicarmos um vetor do conjunto por um número positivo, tudo bem, continua no primeiro quadrante. Mas e se multiplicarmos por um número negativo? Por exemplo, multiplicando (2, 3) por -1, teremos (-2, -3), que está no terceiro quadrante, fora do nosso conjunto. Isso já quebra o fechamento sob a multiplicação escalar.

Passo 4

Existência do vetor zero: O vetor (0, 0) deve estar no conjunto. Como 0 >= 0 e 0 >= 0, ele está, ok aqui.
Existência de aditivos inversos: Para cada vetor (x, y), deve existir (-x, -y) no conjunto. Mas, se x > 0 e y > 0, então -x < 0 e -y < 0, que não estão no primeiro quadrante. Então, não temos esses inversos no conjunto.

Passo 5

Como já vimos, nosso conjunto não é fechado sob multiplicação escalar e não possui os aditivos inversos necessários. Isso significa que pelo menos dois axiomas fundamentais não são satisfeitos.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não satisfaz os axiomas de fechamento sob multiplicação escalar e existência de aditivos inversos.

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