Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
de
(isto é, o primeiro quadrante), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todos os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de todos os vetores
em
onde
e
(ou seja, o primeiro quadrante) com as operações normais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende a todas essas regras.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial precisa cumprir uma série de axiomas, que são como regras que as operações de adição e multiplicação por escalar devem seguir. Esses axiomas garantem que a estrutura seja consistente e que possamos fazer operações sem problemas. Vamos ver os principais:
- Fechamento sob a adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechamento sob a multiplicação escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
- Existência do vetor zero: Deve existir um vetor no conjunto que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda este último.
- Existência de aditivos inversos: Para cada vetor, deve existir outro no conjunto que, somados, dão o vetor zero.
- Associatividade e comutatividade da adição, entre outros.
Vamos verificar cada um desses para o nosso conjunto.
Passo 3
Fechamento sob a adição: Se pegarmos dois vetores no primeiro quadrante, por exemplo,
e
, e somarmos, teremos
. Ambos os componentes são positivos, então a soma está no conjunto. Isso parece bom.
Fechamento sob a multiplicação escalar: Aqui é onde pode complicar. Se multiplicarmos um vetor do conjunto por um número positivo, tudo bem, continua no primeiro quadrante. Mas e se multiplicarmos por um número negativo? Por exemplo, multiplicando
por
, teremos
, que está no terceiro quadrante, fora do nosso conjunto. Isso já quebra o fechamento sob a multiplicação escalar.
Passo 4
Existência do vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. Como
e
, ele está, ok aqui.
Existência de aditivos inversos: Para cada vetor
, deve existir
no conjunto. Mas, se
e
, então
e
, que não estão no primeiro quadrante. Então, não temos esses inversos no conjunto.
Passo 5
Como já vimos, nosso conjunto não é fechado sob multiplicação escalar e não possui os aditivos inversos necessários. Isso significa que pelo menos dois axiomas fundamentais não são satisfeitos.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial porque não satisfaz os axiomas de fechamento sob multiplicação escalar e existência de aditivos inversos.