Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores (x, y) de R^2 com x >= y, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um conjunto de vetores (x, y) no R^2, onde a condição é que x >= y. Queremos descobrir se esse conjunto é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar saber quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se esse conjunto os satisfaz. Se não satisfizer, vamos listar quais axiomas não estão sendo atendidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que, além de ser fechado para adição e multiplicação por escalar, deve satisfazer certos axiomas, como existência de elemento nulo, existência de inversos, distributividade, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Vamos testar:
Se temos (x1, y1) e (x2, y2) onde x1 >= y1 e x2 >= y2, a soma deles é (x1 + x2, y1 + y2). Precisamos que x1 + x2 >= y1 + y2. Isso é sempre verdadeiro se x1 >= y1 e x2 >= y2. Então, a adição está ok.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor no conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado deve estar no conjunto.
Tomemos um vetor (x, y) com x >= y e um escalar k. A multiplicação resulta em (k x, k y). Queremos que k x >= k y.
Se k for positivo, isso se mantém: k x >= k y. Mas se k for negativo, a desigualdade inverte: k x <= k y. Portanto, nem sempre a desigualdade x >= y é preservada após a multiplicação por escalar.

Passo 5

Além disso, vamos verificar outros axiomas. Por exemplo, o vetor nulo deve estar no conjunto. O vetor nulo é (0, 0), e de fato, 0 >= 0 satisfaz a condição. Então, o vetor nulo está presente.

Passo 6

Outro axioma é a existência de inversos aditivos. Para cada vetor (x, y), deve existir (-x, -y) no conjunto. Mas se x >= y, então -x <= -y, o que não satisfaz a condição original x >= y. Portanto, os inversos aditivos não estão todos presentes no conjunto.

Passo 7

Também precisamos verificar a distributividade de escalares e a associatividade da adição, mas já identificamos problemas significativos com a multiplicação por escalares negativos e com os inversos aditivos.

Resposta

Não, o conjunto de todos os vetores (x, y) de R^2 com x >= y não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
  1. Fechamento sob multiplicação por escalar (não preserva x >= y para escalares negativos).
  2. Existência de inversos aditivos (não existe (-x, -y) que satisfaça -x >= -y).

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