Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores
de
, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todos os vetores
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um conjunto de vetores
no
, onde a condição é que
. Queremos descobrir se esse conjunto é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar saber quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se esse conjunto os satisfaz. Se não satisfizer, vamos listar quais axiomas não estão sendo atendidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que, além de ser fechado para adição e multiplicação por escalar, deve satisfazer certos axiomas, como existência de elemento nulo, existência de inversos, distributividade, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Vamos testar:
Se temos
e
onde
e
, a soma deles é
. Precisamos que
. Isso é sempre verdadeiro se
e
. Então, a adição está ok.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor no conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado deve estar no conjunto.
Tomemos um vetor
com
e um escalar
. A multiplicação resulta em
. Queremos que
.
Se
for positivo, isso se mantém:
. Mas se
for negativo, a desigualdade inverte:
. Portanto, nem sempre a desigualdade
é preservada após a multiplicação por escalar.
Passo 5
Além disso, vamos verificar outros axiomas. Por exemplo, o vetor nulo deve estar no conjunto. O vetor nulo é
, e de fato,
satisfaz a condição. Então, o vetor nulo está presente.
Passo 6
Outro axioma é a existência de inversos aditivos. Para cada vetor
, deve existir
no conjunto. Mas se
, então
, o que não satisfaz a condição original
. Portanto, os inversos aditivos não estão todos presentes no conjunto.
Passo 7
Também precisamos verificar a distributividade de escalares e a associatividade da adição, mas já identificamos problemas significativos com a multiplicação por escalares negativos e com os inversos aditivos.
Resposta
Não, o conjunto de todos os vetores
de
com
não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
- Fechamento sob multiplicação por escalar (não preserva
para escalares negativos). - Existência de inversos aditivos (não existe
que satisfaça ).