Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=R^3, W=(a, 0, a), a in R.

Passo 1

O enunciado nos dá V=R^3 e
W = (a,0,a)mid ainR
Pergunta-se se W é subespaço de V. Para isso, usaremos o critério de subespaço vetorial: verificar que W não é vazio, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que W não é vazio. Basta notar que, para a=0, temos (0,0,0)in W. Como o vetor nulo está em W, Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos
w1=(a,0,a)in W, w2=(b,0,b)in W
Então
w1 + w2 = (a+b,,0,,a+b),
que é da forma (c,0,c) com c=a+b. Logo, w1+w2in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
w=(a,0,a)in W
Então
lambda w = (lambda a,,0,,lambda a),
que é da forma (c,0,c) com c=lambda a. Logo, lambda win W.

Passo 5

Como W contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de V. Observe também que
W=span(1,0,1),
o que reforça que W é um subespaço.

Resposta

W é um subespaço de V.

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