Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=R^3, W=(a,-a, 2 a), a in R.

Passo 1

Temos V=R^3 e
W = (a,-a,2a)mid ainR
O conteúdo é a definição de subespaço: precisamos ver se W contém o vetor zero e se é fechado sob adição e multiplicação escalar.

Passo 2

Para ver se o vetor zero pertence a W, basta escolher a=0. Então (0,-0,2cdot0)=(0,0,0), logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Para checar o fechamento sob adição, tomamos dois vetores quaisquer em W: (a,-a,2a) e (b,-b,2b). Somando componente a componente, obtemos
(a+b,,-(a+b),,2(a+b))
que é da forma (c,-c,2c) com c=a+b. Assim a soma está em W.

Passo 4

Para o fechamento sob multiplicação escalar, seja lambdainR e (a,-a,2a)in W. Então
lambdacdot(a,-a,2a) = (lambda a,,-lambda a,,2lambda a)
que é da forma (c,-c,2c) com c=lambda a. Logo o múltiplo escalar está em W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e produto escalar, concluímos que W é um subespaço de R^3.

Resposta

W é subespaço de R^3.

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