Nos exercícios de 1 à 5 , determine a equação da reta tangente em ( ( p, f§ ) sendo dados:
( f(x)=\frac{1}{2 x} ) e ( p=4 )

Passo 1

O enunciado nos pede a equação da reta tangente à função \displaystyle f(x)=\frac{1}{2x} no ponto de abscissa p=4. Vamos usar a definição de derivada para obter a inclinação da reta e, em seguida, a fórmula ponto-inclinação para encontrar a reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=\tfrac12x^{-1}, aplicando a regra do poder:
f'(x) = -\frac12\,x^{-2}.

Passo 3

Avaliamo f(4) e f'(4):
f(4)=\frac{1}{2\cdot4}=\frac18, \quad f'(4)=-\frac12\cdot4^{-2}=-\frac1{32}.

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente em (x_0,y_0):
y - y_0 = m\,(x - x_0),
com x_0=4, y_0=f(4)=\tfrac18 e m=f'(4)=-\tfrac1{32}. Assim:
y - \frac18 = -\frac1{32}\,(x - 4).
Em forma explícita:
y = -\frac{1}{32}\,x + \frac14.

Resposta

A equação da reta tangente é
y - \frac18 = -\frac1{32}\,(x - 4)
ou, equivalentemente,
y = -\frac{1}{32}\,x + \frac14.

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