Nos exercícios de 1 à 5 , determine a equação da reta tangente em ( ( p, f§ ) sendo dados:
( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} ) e ( p=-1 )

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} no ponto de abscissa p=-1. Para isso, vamos precisar de (1) coordenada do ponto \bigl(p,f(p)\bigr) e (2) coeficiente angular dado por f'(p).

Passo 2

Calcular f(p). Como p=-1, temos
f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Encontrar a derivada f'(x) e depois avaliar em x=-1.
Como f(x)=(x^{2}+1)^{-1},
f'(x)=-1\cdot(x^{2}+1)^{-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo,
f'(-1)=-\frac{2\cdot(-1)}{\bigl((-1)^{2}+1\bigr)^{2}} =\frac{2}{(1+1)^{2}} =\frac{2}{4} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y - y_{0}=m\,(x - x_{0}),
com \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=(-1,\tfrac12) e m=f'(-1)=\tfrac12.
Então
y - \frac12 = \frac12\,(x + 1).
Desenvolvendo,
y = \frac12\,x + \frac12 + \frac12 = \frac12\,x + 1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{1}{2}\,x + 1.

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