1. x1+h x2 & =1 2 x1+3 x2 & =k
  2. x1-3 x2=1
2 x1-h x2=k

Passo 1

Estamos lidando com dois sistemas lineares em duas incógnitas x1,x2, cujos coeficientes envolvem os parâmetros h e k. O objetivo é, para cada sistema,
  1. calcular o determinante da matriz de coeficientes;
  2. classificar os casos em que há solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução;
  3. quando existir solução única, encontrá-la; quando houver infinitas, descrever a família de soluções.

Passo 2

Exercício 21:
x1+h,x2=1, 2,x1+3,x2=k
A matriz de coeficientes é
A=1 & h2 & 3,
cujo determinante é
det A = 1cdot 3 - 2cdot h = 3 - 2h
  • Se 3-2hneq 0, então o sistema tem solução única.
  • Se 3-2h=0, teremos que verificar consistência para decidir entre infinitas ou nenhuma solução.

Passo 3

Caso (ou seja, ), aplicamos a Regra de Cramer:
onde
Calculando:
Logo, para ,

Passo 4

Caso h=tfrac32, o determinante det A=0 e as duas equações têm o mesmo lado esquerdo (multiplicando a primeira por 2):
2x1+3x2=2,
que bate com a segunda 2x1+3x2=k somente se k=2.
  • Se k=2, há infinitas soluções, pois sobra apenas uma equação x1+tfrac32x2=1. Tomando x2=t, obtemos
x1=1-tfrac32,t, tinR
  • Se kneq 2, o sistema é inconsistente e não admite solução.

Passo 5

Exercício 22:
x1-3,x2=1, 2,x1-h,x2=k
A matriz de coeficientes é
B=1 & -32 & -h,
com determinante
det B = 1cdot(-h) - 2cdot(-3) = -h + 6 = 6 - h
  • Se 6-hneq 0, há solução única.
  • Se 6-h=0, isto é h=6, verificamos consistência.

Passo 6

Para , aplicamos Cramer:
onde
Calculando:
Portanto, para :
Se , então . A primeira equação dá ; substituindo na segunda:
  • Se , infinitas soluções com e .
  • Se , o sistema não tem solução.

Resposta

  • Para hneq tfrac32:
x1 = 3 - h,k3 - 2h, x2 = k - 23 - 2h
  • Para h=tfrac32 e k=2: infinitas soluções x1=1-tfrac32t, x2=t.
  • Para h=tfrac32 e kneq2: sem solução.
  • Para hneq 6:
x1 = -h + 3k6 - h, x2 = k - 26 - h
  • Para h=6 e k=2: infinitas soluções x1=1+3t, x2=t.
  • Para h=6 e kneq2: sem solução.

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