Nos Exercícios 1-4, determine se o sistema tem solução não-trivial. Tente usar a menor quantidade possível de operações elementares.
1 x1-5 x2+9 x3 & =0 -x1+4 x2-3 x3 & =0 2 x1-8 x2+9 x3 & =0
  1. 3 x1+6 x2-4 x3-x4=0
    -5 x1 +8 x3+3 x4=0
8 x1-x2 +7 x4=0
  1. 5 x1-x2+3 x3=0
4 x1-3 x2+7 x3=0
  1. 4 x1-2 x2=0
6 x1+3 x2=0

Passo 1

Estamos diante de quatro sistemas homogêneos e queremos saber para cada um se existe solução não-trivial. Pelo Teorema do Núcleo, tal solução existe se e somente se
,
onde é o número de incógnitas. Em matrizes quadradas basta verificar se .

Passo 2

Sistema 1:
Fazendo e obtemos
Em seguida, multiplica-se a segunda linha por 2 e soma-se à terceira, chegando a , logo , daí e . Assim e só há solução trivial.

Passo 3

Sistema 2 (3 equações, 4 incógnitas): sempre , logo e há solução não-trivial.

Passo 4

Sistema 3 (2 equações, 3 incógnitas): sempre , logo existe solução não-trivial.

Passo 5

Sistema 4:
Calcula-se
logo e só há solução trivial.

Resposta

  1. não
  2. sim
  3. sim
  4. não

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