Nos Exercícios 5 a 8, determine o vetor de coordenadas [x]B de x em relação à base B=b1, ldots, bn dada.
8. b1=[l1 0 3], b2=[l2 1 8], b3=[r1 -1 2], x=[r3 -5 4]

Passo 1

O enunciado pede o vetor de coordenadas [x]B tal que
x=c1b1+c2b2+c3b3,
onde
b1=(1,0,3)^T,
b2=(2,1,8)^T,
b3=(1,-1,2)^T
e
x=(3,-5,4)^T.
O conteúdo é mudança de base em R^3, que envolve resolver um sistema linear para encontrar (c1,c2,c3).

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando componentes, temos
c1103 +c2218 +c31-12 =3-54

Passo 3

Isso gera o sistema
c1+2c2+c3=3, c2-c3=-5, 3c1+8c2+2c3=4

Passo 4

Da segunda equação segue
c2-c3=-5Longrightarrow c2=c3-5
Substituindo em c1+2c2+c3=3
c1+2(c3-5)+c3=3 Longrightarrow c1=13-3c3

Passo 5

Por fim, na terceira equação
3c1+8c2+2c3=4
substituímos c1=13-3c3 e c2=c3-5:
3(13-3c3)+8(c3-5)+2c3=4 Longrightarrow -1+c3=4 Longrightarrow c3=5
Então
c2=5-5=0, c1=13-3cdot5=-2

Resposta

[x]B =-205

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