Nos Exercícios 5 a 8, determine o vetor de coordenadas [x]B de x em relação à base B=b1, ldots, bn dada.
7. b1=[r1 -1 -3], b2=[r-3 4 9], b3=[r2 -2 4], x=[r8 -9 6]

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a base
B=b1,b2,b3 com
b1=[1,-1,-3]^T,
b2=[-3,4,9]^T,
b3=[2,-2,4]^T
e o vetor
x=[8,-9,6]^T.
O que queremos é o vetor de coordenadas [x]B.
O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais, e para resolver vamos usar combinação linear e depois resolver um sistema linear.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear que define as coordenadas:
x ;=; c1,b1 ;+; c2,b2 ;+; c3,b3
Aqui c1,c2,c3 são os escalares que formam o vetor de coordenadas [x]B=(c1,c2,c3)^T.

Passo 3

Igualando componente a componente, montamos o sistema linear:
1cdot c1 ;+;(-3)cdot c2 ;+;2cdot c3 = 8, (-1),c1 ;+;4,c2 ;+;(-2),c3 = -9, (-3),c1 ;+;9,c2 ;+;4,c3 = 6
Cada linha vem de igualar a soma das componentes de b1,b2,b3 à componente correspondente de x.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema por eliminação simples:
  1. Soma a 1ª e a 2ª equações para eliminar c1:
(c1-3c2+2c3)+(-c1+4c2-2c3)=8+(-9) Longrightarrow c2=-1
  1. Com c2=-1, usa a 1ª equação:
c1-3(-1)+2c3=8 ;Longrightarrow;c1+3+2c3=8 ;Longrightarrow;c1=5-2c3
  1. Vai na 3ª equação e substitui c1 e c2:
-3(5-2c3)+9(-1)+4c3=6 ;Longrightarrow;-15+6c3-9+4c3=6 ;Longrightarrow;-24+10c3=6 ;Longrightarrow;c3=3
  1. Finalmente, de c1=5-2c3:
c1=5-2cdot3=5-6=-1
Logo c1=-1, c2=-1 e c3=3.

Resposta

[x]B =-1-13

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