Sabendo que para cada x0 in Dom(f) definimos a derivada de f no ponto x0 como sendo f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h se tal limite existe, calcule, se possível, f^prime(x0) em cada caso a seguir:
(e) f(x)=1x

Passo 1

O enunciado lembra a definição de derivada de uma função f num ponto x0:
f'(x0) = limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0,
e pede para calcular f'(x0) quando f(x)=1x.

Passo 2

Observamos que Dom(f)=Rsetminus0. Logo, só faz sentido falar de f'(x0) para x0neq 0.

Passo 3

Vamos calcular o quociente incremental e depois o limite:
f(x)-f(x0)x-x0 = 1x-1x0,x-x0, = x0-xx,x0,x-x0, = x0-xx,x0,(x-x0) = -1x,x0
Agora, tomando xto x0,
f'(x0) = limxto x0l(-tfrac1x,x0r) = -1x0^2

Resposta

f'(x0) = -1x0^2, x0neq 0

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