Nos exercícios 1-12 : (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; (c) descreva as curvas de nível da função; (d) encontre a fronteira do domínio da função; (e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas; (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
f(x, y)=y x^2

Passo 1

O enunciado define a função
fcolonR^2 to R, f(x,y)=y,x^2,
e pede:
(a) domínio; (b) imagem; (c) curvas de nível; (d) fronteira do domínio; (e) classificar o domínio como aberto, fechado ou nenhum; (f) verificar se o domínio é limitado.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde f(x,y)=y,x^2 está definida. Como é um polinômio em x e y, não há restrição alguma. Logo
Dom(f)=R^2

Passo 3

A imagem é o conjunto de valores que y,x^2 pode assumir quando (x,y) varia em R^2. Note que x^2>=0 e y é qualquer real. Para qualquer tinR, basta escolher xneq0 e y = t/x^2 para ter f(x,y)=t. Portanto
Im(f)=R

Passo 4

As curvas de nível são dadas por
f(x,y)=c Long<=ftrightarrow y,x^2 = c
  • Se c=0, então x^2y=0 implica x=0 ou y=0, ou seja, a união dos eixos x e y.
  • Se cneq0, então
y = cx^2,
que são duas ramificações simétricas em relação ao eixo y.

Passo 5

A fronteira de Dom(f)=R^2 é
partiall(R^2r) =R^2;-;int(R^2) =R^2-R^2 =emptyset

Passo 6

O conjunto R^2 é aberto (é um aberto trivial) e também é fechado (seu complemento é vazio, que é aberto). Logo o domínio é simultaneamente aberto e fechado. Como “região” costuma significar “conjunto aberto e conecto”, vale dizer que é uma região aberta.

Passo 7

Como R^2 se estende ao infinito, não há nenhuma restrição de tamanho: o domínio é não limitado.

Resposta

(a) Dom(f)=R^2
(b) Im(f)=R
(c) para c=0: x=0 ou y=0; para cneq0: y = c/x^2
(d) partial(Dom(f))=emptyset
(e) o domínio é aberto e também fechado (região aberta)
(f) o domínio é não limitado

Exercícios relacionados