Nos exercícios : (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; (c) descreva as curvas de nível da função; (d) encontre a fronteira do domínio da função; (e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas; (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) domínio; (b) imagem; (c) curvas de nível; (d) fronteira do domínio; (e) classificar o domínio como aberto, fechado ou nenhum; (f) verificar se o domínio é limitado.
Passo 2
Para achar o domínio, basta ver onde está definida. Como é um polinômio em e , não há restrição alguma. Logo
Passo 3
A imagem é o conjunto de valores que pode assumir quando varia em . Note que e é qualquer real. Para qualquer , basta escolher e para ter . Portanto
Passo 4
As curvas de nível são dadas por
Se , então implica ou , ou seja, a união dos eixos e .
Se , então
que são duas ramificações simétricas em relação ao eixo .
Passo 5
A fronteira de é
Passo 6
O conjunto R^2 é aberto (é um aberto trivial) e também é fechado (seu complemento é vazio, que é aberto). Logo o domínio é simultaneamente aberto e fechado. Como “região” costuma significar “conjunto aberto e conecto”, vale dizer que é uma região aberta.
Passo 7
Como R^2 se estende ao infinito, não há nenhuma restrição de tamanho: o domínio é não limitado.
Resposta
(a) Dom(f)=R^2
(b) Im(f)=R
(c) para c=0: x=0 ou y=0; para cneq0: y = c/x^2
(d) partial(Dom(f))=emptyset
(e) o domínio é aberto e também fechado (região aberta)
(f) o domínio é não limitado