Nos Exercícios 1-8, encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto dado.
x+y+z=1, P0(0,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
x + y + z = 1
no ponto P0(0,1,0).
Como a superfície está dada implicitamente por
F(x,y,z) = x + y + z - 1 = 0,
vamos usar o gradiente de F para encontrar o plano tangente.

Passo 2

Calculemos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) = l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) = (1,,1,,1)
Em particular, em P0(0,1,0) temos
nabla F(P0) = (1,,1,,1)

Passo 3

A fórmula do plano tangente a uma superfície implícita F(x,y,z)=0 em P0(x0,y0,z0) é
nabla F(P0) cdot l(x-x0,,y-y0,,z-z0r) = 0

Passo 4

Substituindo nabla F(P0)=(1,1,1) e P0(0,1,0) na fórmula, obtemos
1cdot(x-0) + 1cdot(y-1) + 1cdot(z-0) = 0
que simplifica para
x + y - 1 + z = 0 Long<=ftrightarrow x + y + z = 1

Resposta

x + y + z = 1

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