Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(b) A reta normal no ponto
na superficie dada.
(b) A reta normal no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta normal no ponto
na superfície definida por
. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente usando o gradiente para encontrar a normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto
. A forma mais fácil de obter isso é calculando o gradiente da função que define a superfície. A função dada é:
Passo 3
O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é normal à superfície. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Calculando cada derivada:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é o vetor normal à superfície no ponto
.
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto [P_{0}), podemos escrever a equação da reta normal. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto
e tem direção
é:
Onde (t] é o parâmetro.
Passo 6
Aplicando os valores que temos:
E o vetor direção:
Substituindo na equação paramétrica:
Resposta
A equação da reta normal no ponto [P_{0}(2, 0, 2)) na superfície dada é:
Onde (t] é um parâmetro real.