Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(b) A reta normal no ponto P0 na superficie dada.
2 z-x^2=0, P0(2,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta normal no ponto P0(2, 0, 2) na superfície definida por 2z - x^2 = 0 . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente usando o gradiente para encontrar a normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto P0 . A forma mais fácil de obter isso é calculando o gradiente da função que define a superfície. A função dada é:
f(x, y, z) = 2z - x^2

Passo 3

O gradiente de f , denotado por nabla f , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é normal à superfície. Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x , y e z :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Calculando cada derivada:
partial fpartial x = -2x, partial fpartial y = 0, partial fpartial z = 2
Então, o gradiente é:
nabla f = (-2x, 0, 2)

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P0(2, 0, 2) :
nabla f(2, 0, 2) = (-2 cdot 2, 0, 2) = (-4, 0, 2)
Esse vetor (-4, 0, 2) é o vetor normal à superfície no ponto P0 .

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto [P_{0}), podemos escrever a equação da reta normal. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto e tem direção é:
Onde (t] é o parâmetro.

Passo 6

Aplicando os valores que temos:
x0 = 2, y0 = 0, z0 = 2
E o vetor direção:
(a, b, c) = (-4, 0, 2)
Substituindo na equação paramétrica:
x = 2 - 4t y = 0 + 0t = 0 z = 2 + 2t

Resposta

A equação da reta normal no ponto [P_{0}(2, 0, 2)) na superfície dada é:
Onde (t] é um parâmetro real.

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