Exercícios de fixação - Módulo I
Força Elétrica e Campo Elétrico
Um cilindro infinito de raio R tem uma densidade de carga uniforme
. Determine o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica coaxial de raio
e altura
:
Para
.
Força Elétrica e Campo Elétrico
Um cilindro infinito de raio R tem uma densidade de carga uniforme
Para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro infinito com raio $ R $ e densidade de carga uniforme $ \rho $. A tarefa é encontrar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica coaxial com raio $ r $ e altura $ h $, onde $ r > R $. Estamos lidando com Força Elétrica e Campo Elétrico, e para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico ($ \Phi_E $) mede quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada superfície. A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
Onde:
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
- $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície $ S $,
- $ Q_{interna} $ é a carga total dentro da superfície,
- $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos definir nossa superfície gaussiana. No caso, é uma superfície cilíndrica coaxial com o cilindro de carga. Como $ r > R $, essa superfície envolve todo o cilindro de carga. Agora, precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície gaussiana.
A densidade de carga $ \rho $ é a carga por unidade de volume. O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
Então, a carga total $ Q_{interna} $ dentro do nosso cilindro de carga é:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Gauss. Como a superfície gaussiana é um cilindro coaxial e o campo elétrico é radialmente simétrico, o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular à superfície.
Portanto, o fluxo elétrico através da superfície lateral é:
De acordo com a Lei de Gauss:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ E $:
Mas o exercício pede o fluxo elétrico $ \Phi_E $, então substituímos $ E $ de volta:
Resposta
O fluxo elétrico através da superfície cilíndrica coaxial é: