Exercícios de fixação - Módulo I
Força Elétrica e Campo Elétrico
Um cilindro infinito de raio R tem uma densidade de carga uniforme rho. Determine o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica coaxial de raio r e altura h:
Para r>R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro infinito com raio $ R $ e densidade de carga uniforme $ \rho $. A tarefa é encontrar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica coaxial com raio $ r $ e altura $ h $, onde $ r > R $. Estamos lidando com Força Elétrica e Campo Elétrico, e para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico ($ \Phi_E $) mede quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada superfície. A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
PhiE
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
  • $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície $ S $,
  • $ Q_{interna} $ é a carga total dentro da superfície,
  • $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos definir nossa superfície gaussiana. No caso, é uma superfície cilíndrica coaxial com o cilindro de carga. Como $ r > R $, essa superfície envolve todo o cilindro de carga. Agora, precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície gaussiana.
A densidade de carga $ \rho $ é a carga por unidade de volume. O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
r > R
Então, a carga total $ Q_{interna} $ dentro do nosso cilindro de carga é:
rho

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. Como a superfície gaussiana é um cilindro coaxial e o campo elétrico é radialmente simétrico, o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular à superfície.
Portanto, o fluxo elétrico através da superfície lateral é:
E
De acordo com a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot (2pi r h)

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ E $:
E
Mas o exercício pede o fluxo elétrico $ \Phi_E $, então substituímos $ E $ de volta:
E = rho cdot pi R^2 h2pi r h varepsilon0 = rho R^22 r varepsilon0

Resposta

O fluxo elétrico através da superfície cilíndrica coaxial é:
PhiE = rho pi R^2 hvarepsilon0

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