Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que essa série de potências converge para todo (isto é, está bem definida em ) e ainda provar que
O conteúdo é teoria de séries de potências (raio de convergência e diferenciação termo a termo) e EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Usamos o Teste da Razão para séries de potências. Seja
então
Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo xinR, logo f está bem definida em R e é infinitamente diferenciável.
Passo 3
Podemos diferenciar termo a termo. Para f'(x) temos