Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 3^nn! x^n está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-9 y=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=0^infty3^nn!,x^n
e pede para mostrar que essa série de potências converge para todo xinR (isto é, f está bem definida em R) e ainda provar que
f''(x)-9,f(x)=0
O conteúdo é teoria de séries de potências (raio de convergência e diferenciação termo a termo) e EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Usamos o Teste da Razão para séries de potências. Seja
an=3^nn!,
então
|an+1x^,n+1anx^,n| =3^,n+1(n+1)!,n!3^n;|x| =3,|x|n+1,longrightarrow0(ntoinfty)
Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo xinR, logo f está bem definida em R e é infinitamente diferenciável.

Passo 3

Podemos diferenciar termo a termo. Para f'(x) temos
f'(x) =sumn=1^infty3^nn!,n,x^,n-1 =sumn=1^infty3^n(n-1)!,x^,n-1
Fazendo a troca de índice k=n-1, obtemos
f'(x) =sumk=0^infty3^k+1k!,x^k =3sumk=0^infty3^kk!,x^k =3,f(x)

Passo 4

Como f'(x)=3,f(x), diferenciando novamente,
f''(x) =(f'(x))' =(3,f(x))' =3,f'(x) =3,(3,f(x)) =9,f(x)

Passo 5

Finalmente,
f''(x)-9,f(x)=9,f(x)-9,f(x)=0
para todo xinR. Portanto f satisfaz a EDO y''-9y=0.

Resposta

A série converge em todo R (raio de convergência infinito) e, por diferenciação termo a termo, verifica-se que f''(x)-9,f(x)=0.

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