Nos exercicios 1. a 5. obtenha e classifique os pontos críticos da função dada. Depois de classificar, por pura inspeção
tente concluir se f possui máximo ou minimo global nos extremantes locais de f.
f(x, y)=x+y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=x+y\operatorname{sen} x
e sua classificação (máximo, mínimo ou sela) usando derivadas parciais e o discriminante da matriz Hessiana. Depois, por inspeção, verificar se algum desses pontos críticos é também extremante global.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem e igualar a zero. Temos
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+y\operatorname{sen} x\bigr)=1 + y\cos x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x+y\operatorname{sen} x\bigr)=\operatorname{sen} x.
Para pontos críticos, impomos
f_x(x,y)=0 \quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0.

Passo 3

Da equação f_y(x,y)=0 vem
\operatorname{sen} x=0 \implies x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo em f_x=0,
1 + y\cos(k\pi)=0 \implies 1 + y(-1)^k=0 \implies y = -\frac{1}{(-1)^k} = (-1)^{\,k+1}.
Logo, os pontos críticos são
(x,y)=\bigl(k\pi,\;(-1)^{\,k+1}\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(1+y\cos x)=-y\operatorname{sen} x, \quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(1+y\cos x)=\cos x, \quad f_{yy}(x,y)=0.
O discriminante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = -(\cos x)^2.
Em x=k\pi temos \cos(k\pi)=(-1)^k, logo
D\bigl(k\pi,(-1)^{k+1}\bigr)= -1 < 0.
Quando D<0, o ponto crítico é de sela.

Passo 5

Como todos os pontos críticos são pontos de sela, não há nem máximo local nem mínimo local, e portanto também não há máximo ou mínimo global nos extensores locais de f.

Resposta

Os pontos críticos são
\bigl(k\pi,\;(-1)^{\,k+1}\bigr),\quad k\in\mathbb{Z},
e todos são pontos de sela. Consequentemente, f não possui nem máximo nem mínimo global em nenhum desses pontos.

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