O valor médio da função f(x, y)=3 x 2+3 x y-2 na região delimitada pelas curvas y=0, x=1 e y=x é igual a
Vamos calcular o valor médio da função
f(x, y)=3 x^{2}+3 x y-2

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x,y)=3x^{2}+3xy-2
na região D limitada por y=0, x=1 e y=x. O conteúdo é valor médio de função de duas variáveis, e vamos usar a fórmula
\bar f = \frac{1}{\text{Área}(D)} \iint_{D} f(x,y)\,dA.Á

Passo 2

Primeiro determinamos a região D. Como y varia de 0 até x e x varia de 0 até 1, temos
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x\}.
A área de D é
\text{Área}(D)=\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}1\,dy\,dx =\int_{0}^{1} x\,dx =\frac{1}{2}.Á

Passo 3

Agora calculamos o integral de f sobre D:
\iint_{D}f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}\bigl(3x^{2}+3xy-2\bigr)\,dy\,dx.
Para isso, primeiro integramos em y:
\int_{0}^{x}(3x^{2}+3xy-2)\,dy =3x^{2}\,y\Big|_{0}^{x} +\frac{3x\,y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} -2y\Big|_{0}^{x} =3x^{3}+\frac{3x\cdot x^{2}}{2}-2x =\frac{9}{2}x^{3}-2x.

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{9}{2}x^{3}-2x\Bigr)\,dx =\frac{9}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} -2\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac{9}{8}-1 =\frac{1}{8}.
Logo
\iint_{D}f(x,y)\,dA = \frac{1}{8}.

Passo 5

Aplicando a fórmula do valor médio:
\bar f =\frac{1}{\text{Área}(D)}\iint_{D}f(x,y)\,dA =\frac{1}{\tfrac12}\cdot\frac{1}{8} =2\cdot\frac{1}{8} =\frac{1}{4}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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