Nos Exercícios 3 a 6, obtenha uma descrição explícita de listando os vetores que geram o espaço nulo.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra achar a descrição explícita de Nul,A, isto é, todos os vetores xin R^4 que satisfazem
A,x = 0,,onde A=1&3&5&00&1&4&-2
Conteúdo: Álgebra Linear – sistema homogêneo, espaço nulo, variáveis livres e pivôs.
O que vamos usar: forma escalonada da matriz, identificar pivôs, escolher parâmetros para variáveis livres e escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema Ax=0 em forma de linhas:
1cdot x1 + 3cdot x2 + 5cdot x3 + 0cdot x4 = 0
0cdot x1 + 1cdot x2 + 4cdot x3 - 2cdot x4 = 0
Já está quase em forma escalonada: pivô na coluna 1 (linha 1) e na coluna 2 (linha 2). Isso significa:
x1 e x2 são variáveis de pivô.
x3 e x4 são variáveis livres.
Como as livres podem ser quaisquer valores, definimos parâmetros:
x3 = s, x4 = t(s,tin R)
Passo 3
Agora voltamos nas equações pra expressar e em função de :
Da segunda equação: