Mostre que:
(a) Se os vetores u, v são linearmente dependentes, então os vetores u, v, w são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, se dois vetores u e v são linearmente dependentes então, ao adicionar um terceiro vetor w, o conjunto u,v,w também é linearmente dependente. Para isso vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que seja o vetor zero.

Passo 2

Como u e v são linearmente dependentes, existem escalares alpha,beta, não ambos zero, tais que
alpha,u ;+;beta,v ;=;0

Passo 3

Agora considere os três vetores u,v,w. Basta produzir uma combinação linear não trivial deles que dê zero. Podemos usar os mesmos alpha e beta acima e escolher gamma=0. Então
alpha,u ;+;beta,v ;+;0cdot w ;=;0
Como alpha e beta não são ambos zero, essa combinação é não trivial, o que mostra que u,v,w são linearmente dependentes.

Resposta

Como encontramos uma combinação linear não trivial de u,v,w que resulta em zero, concluímos que u,v,w são linearmente dependentes.

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