Mostre que:
(a) Se os vetores
são linearmente dependentes, então os vetores
são linearmente dependentes.
(a) Se os vetores
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial, se dois vetores
e
são linearmente dependentes então, ao adicionar um terceiro vetor
, o conjunto
também é linearmente dependente. Para isso vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que seja o vetor zero.
Passo 2
Como
e
são linearmente dependentes, existem escalares
, não ambos zero, tais que
Passo 3
Agora considere os três vetores
. Basta produzir uma combinação linear não trivial deles que dê zero. Podemos usar os mesmos
e
acima e escolher
. Então
Como
e
não são ambos zero, essa combinação é não trivial, o que mostra que
são linearmente dependentes.
Resposta
Como encontramos uma combinação linear não trivial de
que resulta em zero, concluímos que
são linearmente dependentes.