Nos exercícios (3-9), resolva os seguintes problemas de valores iniciais dados.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
com condição inicial
.
O conteúdo necessário é solução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores, incluindo o caso de autovalor repetido (matriz defectiva).]
O conteúdo necessário é solução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores, incluindo o caso de autovalor repetido (matriz defectiva).]
Passo 2
Vamos encontrar o polinômio característico de
:
Logo há um autovalor
de multiplicidade algébrica 2.]
Passo 3
Para o autovalor
achamos os autovetores resolvendo
:
Podemos tomar
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado
tal que
Isto implica
Escolhendo
obtemos
Passo 5
No caso defectivo, a solução geral é
Passo 6
Impondo
dá o sistema
Logo
e
implica
.
Passo 7
Substituindo
e
em
resulta