Nos exercícios (3-9), resolva os seguintes problemas de valores iniciais dados.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -4 \\\\ 4 & -7 \end{array}\right) X, \quad X(0)=\binom{3}{2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
X' = A\,X, \quad A = \begin{pmatrix}1 & -4 \\[6pt] 4 & -7\end{pmatrix},
com condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é solução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores, incluindo o caso de autovalor repetido (matriz defectiva).]

Passo 2

Vamos encontrar o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & -4 \\[3pt] 4 & -7-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-7-\lambda)-(-16) = \lambda^2 +6\lambda +9 = (\lambda+3)^2.
Logo há um autovalor \lambda=-3 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para o autovalor \lambda=-3 achamos os autovetores resolvendo (A+3I)v=0:
(A+3I) = \begin{pmatrix}4 & -4 \\[3pt] 4 & -4\end{pmatrix}, \quad 4v_1 -4v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 = v_2.
Podemos tomar
v = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A+3I)\,w = v.
Isto implica
4w_1 -4w_2 = 1 \;\Longrightarrow\; w_1 - w_2 = \tfrac14.
Escolhendo w_2=0 obtemos
w = \begin{pmatrix}\tfrac14 \\[3pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

No caso defectivo, a solução geral é
X(t) = e^{-3t}\bigl[c_1\,v + c_2\,(t\,v + w)\bigr].

Passo 6

Impondo X(0)=c_1\,v + c_2\,w = \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} dá o sistema
c_1 + \tfrac14 c_2 = 3, \quad c_1 = 2.
Logo c_1=2 e \tfrac14 c_2 = 1 implica c_2=4.

Passo 7

Substituindo c_1 e c_2 em X(t) resulta
X(t) = e^{-3t}\Bigl[2\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +4\bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\tfrac14\\\ 0\end{pmatrix}\bigr)\Bigr] = e^{-3t}\begin{pmatrix}3+4t\\[3pt]2+4t\end{pmatrix}.]

Resposta

X(t)=\begin{pmatrix}(3+4t)e^{-3t}\\[4pt](2+4t)e^{-3t}\end{pmatrix}.]

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