Exercícios de Revisão: Integração por Partes
\int \exp (-x) \cos (2 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \exp(-x)\cos(2x)\,\mathrm{d}x
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u.
Vamos chamar a integral original de
I = \int e^{-x}\cos(2x)\,\mathrm{d}x
e usar partes para expressá-la em função de outra integral intermediária.

Passo 2

Escolhemos
u = e^{-x}, \quad \mathrm{d}v = \cos(2x)\,\mathrm{d}x.
Então
\mathrm{d}u = -e^{-x}\,\mathrm{d}x, \quad v = \int \cos(2x)\,\mathrm{d}x = \tfrac12\sin(2x).
Aplicando a fórmula de partes:
I = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u = e^{-x}\cdot\tfrac12\sin(2x) - \int \tfrac12\sin(2x)\,(-e^{-x})\,\mathrm{d}x = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) + \tfrac12\underbrace{\int e^{-x}\sin(2x)\,\mathrm{d}x}_{J}.
Logo
I = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) + \tfrac12\,J,
onde definimos
J = \int e^{-x}\sin(2x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Agora calculamos
J = \int e^{-x}\sin(2x)\,\mathrm{d}x
por partes também, com
u = e^{-x}, \quad \mathrm{d}v = \sin(2x)\,\mathrm{d}x.
Isso dá
\mathrm{d}u = -e^{-x}\,\mathrm{d}x, \quad v = \int \sin(2x)\,\mathrm{d}x = -\tfrac12\cos(2x).
Então
J = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u = e^{-x}\bigl(-\tfrac12\cos(2x)\bigr) - \int \bigl(-\tfrac12\cos(2x)\bigr)\,(-e^{-x})\,\mathrm{d}x = -\tfrac12 e^{-x}\cos(2x) - \tfrac12\int e^{-x}\cos(2x)\,\mathrm{d}x.
Reconhecemos a integral que é justamente I. Portanto
J = -\tfrac12 e^{-x}\cos(2x) - \tfrac12\,I.

Passo 4

Voltando à expressão de I, temos
I = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) + \tfrac12\,J = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) + \tfrac12\Bigl(-\tfrac12 e^{-x}\cos(2x) - \tfrac12\,I\Bigr).
Distribuindo e recolhendo I em um só lado:
I = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) - \tfrac14 e^{-x}\cos(2x) - \tfrac14\,I \quad\Longrightarrow\quad I + \tfrac14\,I = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) - \tfrac14 e^{-x}\cos(2x).
Assim
\tfrac54\,I = \tfrac12 e^{-x}\sin(2x) - \tfrac14 e^{-x}\cos(2x) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{4}{5}\Bigl(\tfrac12 e^{-x}\sin(2x) - \tfrac14 e^{-x}\cos(2x)\Bigr).
Fazendo as simplificações:
I = \frac{2}{5}e^{-x}\sin(2x) - \frac{1}{5}e^{-x}\cos(2x) + C.

Resposta

\boxed{\int e^{-x}\cos(2x)\,\mathrm{d}x = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr) + C.}

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