Exercícios de Revisão: Integração por Partes
\int \frac{x}{\sqrt{4-x}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{4 - x}} \, dx
usando o método de integração por partes. Nosso conteúdo é “integração por partes” e vamos escolher u e dv de modo que a derivação de u seja simples e a integração de dv seja viável.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = (4 - x)^{-\tfrac12}\,dx,
porque du = dx simplifica, e sabemos calcular
\int (4 - x)^{-\tfrac12}\,dx
por substituição.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dx.
Para v, faça t = 4 - x, assim dt = -dx. Então
v = \int (4 - x)^{-\tfrac12}\,dx = -\int t^{-\tfrac12}\,dt = -2\,t^{\tfrac12} = -2\sqrt{4 - x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtemos
\int x(4 - x)^{-\tfrac12}\,dx = x\bigl(-2\sqrt{4 - x}\bigr) - \int \bigl(-2\sqrt{4 - x}\bigr)\,dx = -2\,x\sqrt{4 - x} + 2\int \sqrt{4 - x}\,dx.

Passo 5

Agora falta calcular \int \sqrt{4 - x}\,dx. Use de novo t = 4 - x, dt = -dx:
\int \sqrt{4 - x}\,dx = -\int t^{\tfrac12}\,dt = -\frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} = -\frac{2}{3}(4 - x)^{\tfrac32}.
Substituindo em nossa expressão principal:
-2\,x\sqrt{4 - x} + 2\times\Bigl(-\tfrac{2}{3}(4 - x)^{\tfrac32}\Bigr) = -2\,x\sqrt{4 - x} - \frac{4}{3}(4 - x)^{\tfrac32}.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{4 - x}}\,dx = -2\,x\sqrt{4 - x} - \frac{4}{3}(4 - x)^{\tfrac32} + C.

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