Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{3 t} \\ y(0)=2 \\ y^{\prime}(0)=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t},\quad y(0)=2,\;y'(0)=6
usando transformada de Laplace. Vamos precisar conhecer as fórmulas
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), além de \mathcal{L}\{t^n e^{at}\}=n!/(s-a)^{n+1}.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados da equação diferencial, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+9\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{t^2 e^{3t}\}.
Substituindo as fórmulas de derivadas e as condições iniciais y(0)=2, y'(0)=6, dá
\bigl(s^2Y(s)-2s-6\bigr)-6\bigl(sY(s)-2\bigr)+9Y(s) =\frac{2}{(s-3)^3}.
Agrupando termos em Y(s) e os demais, ficamos com
(s^2-6s+9)Y(s)+(-2s-6+12)=\frac{2}{(s-3)^3},
isto é,
(s-3)^2\,Y(s)-2s+6=\frac{2}{(s-3)^3}.

Passo 3

Isolando Y(s), passamos -2s+6 para o outro lado e dividimos por (s-3)^2:
(s-3)^2\,Y(s) =\frac{2}{(s-3)^3}+2s-6 =\frac{2}{(s-3)^3}+2(s-3).
Logo
Y(s) =\frac{2}{(s-3)^5}+\frac{2(s-3)}{(s-3)^2} =\frac{2}{(s-3)^5}+\frac{2}{(s-3)}.

Passo 4

Agora invertendo a transformada de Laplace termo a termo:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{2}{s-3}\bigr\}=2e^{3t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{2}{(s-3)^5}\bigr\} =2\;\frac{t^4}{4!}\,e^{3t} =\frac{t^4}{12}\,e^{3t}.
Somando os dois resultados, obtemos a solução no tempo:

Resposta

y(t)=2e^{3t}+\frac{t^4}{12}\,e^{3t}.

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