Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso II:
Ambas Potências Pares
integral(2 sin (x)+3 cos (x))^2 dx

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral (2sin x + 3cos x)^2 ,dx
O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver, vamos usar as identidades de redução de potência: sin^2x, cos^2x e sin xcos x.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado:
(2sin x + 3cos x)^2 = 4sin^2 x + 12sin x,cos x + 9cos^2 x

Passo 3

Aplicamos as identidades
sin^2 x = 1 - cos2x2, cos^2 x = 1 + cos2x2, sin x,cos x = sin2x2
Substituindo em cada termo:
4sin^2 x = 2(1 - cos2x), 12sin x,cos x = 6sin2x, 9cos^2 x = 92(1 + cos2x)

Passo 4

Somando tudo, o integrando vira
2(1 - cos2x) + 6sin2x + 92(1 + cos2x) = 132 + 52cos2x + 6sin2x
Então a integral é
integral!l(tfrac132 + tfrac52cos2x + 6sin2xr)dx

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
integral 132,dx = 132x, integral 52cos2x,dx = 54sin2x, integral 6sin2x,dx = -3cos2x
Somando e incluindo a constante C, obtemos
132x + 54sin2x - 3cos2x + C

Resposta

132x + 54sin2x - 3cos2x + C

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