Um material é testado para falha de fadiga cíclica através do qual uma tensão, em MPa, é aplicada ao material e o número de ciclos necessários para provocar a falha é medido. Os resultados estão na tabela abaixo. Quando um gráfico log-log de tensão versus ciclos é gerado, a tendência dos dados mostram uma relação linear. Use a regressão por mínimos quadrados para determinar uma equação de melhor ajuste para estes dados.
N, cydes 1 10 100 1000 10,000 100,000 l|ccccccc N, cydes & 1 & 10 & 100 & 1000 & 10,000 & 100,000 & $1,000,000$ hline Stress, MPa & 1100 & 1000 & 925 & 800 & 625 & 550 & 420
Stress, MPa 1100 1000 925 800 625 550 420

Passo 1

Temos medições de tensão S em função do número de ciclos N até falha, e ao plotar log S versus log N os pontos parecem alinhar-se. Isso indica um modelo de potência
S = a,N^b
cuja forma linearizada é
log10S = A + b,log10N,
onde A = log10a. Para ajustar esse modelo usamos regressão linear pelo método dos mínimos quadrados em l(xi,yir) com
xi = log10Ni, yi = log10Si

Passo 2

Como N são potências de 10, temos
xi=log10Ni in0,1,2,3,4,5,6
Calculando log10Si para cada tensão, obtemos aproximadamente
yiin3.04139,;3.00000,;2.96658,;2.90309,;2.79588,;2.74036,;2.62325
Com isso calculamos as somas necessárias:
sumi=1^7xi = 21, sumi=1^7yi = 20.07057, sumi=1^7xi yi = 58.26729, sumi=1^7xi^2 = 91

Passo 3

O coeficiente angular b da reta y = A + b,x é dado por
b = nsum xi yi ;-;sum xisum yi ,nsum xi^2 -l(sum xir)^2,,
com n=7. Substituindo,
b = 7cdot58.26729 - 21cdot20.070577cdot91 - 21^2 = -13.611196 approx -0.06945

Passo 4

O coeficiente linear A é
A = bar y - b,bar x = sum yin ;-; b,sum xin = 2.86722 -(-0.06945)cdot3 approx 3.07556

Passo 5

Voltando à escala original, temos
log10S = 3.07556 ;-;0.06945,log10N,
ou seja
S = 10^3.07556,N^-0.06945 approx 1190,N^-0.06945

Resposta

S(N)approx1190,N^-0.06945 (MPa).

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