Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso II:
Ambas Potências Pares
integral(sin (x)+cos (x))^4 dx

Passo 1

Beleza, o que a gente tem que fazer é calcular
integral(sin x+cos x)^4,dx.
Isso é um exercício de integração trigonométrica com potências pares.
O que vamos usar:
  • Binômio de Newton para expandir (sin x+cos x)^4.
  • Identidade básica sin^2x+cos^2x=1.
  • Fórmula do ângulo duplo sin2x=2sin xcos x.
  • Redução de potência sin^2theta=tfrac1-cos2theta2.

Passo 2

Aplicando o binômio de Newton
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
com a=sin x e b=cos x, fica
(sin x+cos x)^4 = sin^4x ;+;4sin^3xcos x;+;6sin^2xcos^2x;+;4sin xcos^3x;+;cos^4x

Passo 3

Antes de integrar, vamos simplificar:
  1. sin^4x+6sin^2xcos^2x+cos^4x = (sin^2x+cos^2x)^2 +4sin^2xcos^2x = 1 +4sin^2xcos^2x
  2. 4sin^3xcos x +4sin xcos^3x =4sin xcos x,(sin^2x+cos^2x) =4sin xcos x
    Então
(sin x+cos x)^4 = 1 ;+;4sin^2xcos^2x;+;4sin xcos x
Agora use
sin2x=2sin xcos ximplies 4sin xcos x=2sin2x
e
sin^2xcos^2x=tfrac14sin^2(2x).
Fica
(sin x+cos x)^4 = 1 +2sin2x +sin^2(2x)

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral(sin x+cos x)^4,dx = integral1,dx ;+;2integralsin2x,dx;+;integralsin^2(2x),dx
  • integral1,dx = x
  • 2integralsin2x,dx = 2l(-tfrac12cos2xr) = -cos2x
  • Para integralsin^2(2x),dx, use sin^2u=tfrac1-cos2u2 com u=2x:
sin^2(2x)=tfrac1-cos4x2 Longrightarrow integralsin^2(2x),dx = integral1-cos4x2,dx = 12x - 18sin4x
Somando tudo dá
x ;-;cos2x ;+;l(tfrac12x - tfrac18sin4xr) + C = 32x ;-;cos2x ;-;18sin4x + C

Resposta

32x ;-;cos2x ;-;18sin4x + C

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