Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso II:
Ambas Potências Pares
integral cos ^6(x)+sin ^6(x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral l(cos^6x + sin^6xr),dx
O conteúdo envolvido é a integração de potências pares de seno e cosseno, usando identidades trigonométricas de redução de grau.

Passo 2

Repare que com a=sin^2x e b=cos^2x vale a identidade de soma de cubos
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
Como a+b=sin^2x+cos^2x=1, obtemos
sin^6x+cos^6x = 1 - 3,sin^2xcos^2x

Passo 3

Para reduzir sin^2xcos^2x usamos a fórmula do ângulo duplo:
sin^2xcos^2x = l(tfrac12sin2xr)^2 = tfrac14,sin^2(2x)
E em seguida a redução de sin^2(2x):
sin^2(2x) = tfrac12l(1-cos4xr),
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sin^2xcos^2x = tfrac14cdottfrac12l(1-cos4xr) = tfrac18l(1-cos4xr)

Passo 4

Substituindo em sin^6x+cos^6x = 1 - 3,sin^2xcos^2x, vem
sin^6x+cos^6x = 1 - 3cdottfrac18l(1-cos4xr) = 1 - tfrac38 + tfrac38cos4x = tfrac58 + tfrac38cos4x
Portanto a integral vira
integral!l(cos^6x + sin^6xr),dx = integral!l(tfrac58 + tfrac38cos4xr),dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral tfrac58,dx = tfrac58,x, integral tfrac38cos4x,dx = tfrac38cdot tfrac14sin4x = tfrac332,sin4x

Resposta

integral l(cos^6x + sin^6xr),dx = tfrac58,x + tfrac332,sin4x + C

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