Exercícios 3 a 5: São dados uma função y=f(x) e os valores de x0 e x1.
a) Encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x0, x1].
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x no valor especificado de x0.
y=e^xx^2

Passo 1

Estamos com a função y=f(x)=e^xx^2 e precisamos calcular duas coisas: a taxa de variação média de y no intervalo [x0,x1] e a taxa de variação instantânea em x0. Vamos usar definição de taxa média (diferença quociente) e derivada (limite ou regras de derivação).

Passo 2

Para a taxa de variação média aplicamos a definição
De
Substituindo f(x)=e^xx^2 obtemos
e^x1/x1^2 - e^x0/x0^2x1 - x0

Passo 3

Para a taxa de variação instantânea em x0 precisamos da derivada f'(x). É mais fácil reescrever
f(x)=e^x,x^-2
e usar regra do produto:
f'(x)=l(e^xr)',x^-2 + e^x,(x^-2)'
Como (e^x)' = e^x e (x^-2)' = -2,x^-3, vem
f'(x)=e^x,x^-2 + e^x(-2)x^-3 = e^x,x^-3(x - 2)

Passo 4

Finalmente, a taxa instantânea em x0 é apenas avaliar f'(x) em x0:
f'(x0)=e^x0(x0-2)x0^3

Resposta

a) e^x1/x1^2 - e^x0/x0^2x1 - x0
b) e^x0(x0-2)x0^3

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