Exercícios 3 a 5: São dados uma função y=f(x) e os valores de x0 e x1.
a) Encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x0, x1].
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x no valor especificado de x0.
f(x)=x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com a função $ f(x) = x^{2} e^{x} $. Precisamos encontrar duas coisas:
a) A taxa de variação média de $ y $ em relação a $ x $ no intervalo entre dois pontos $ x_{0} $ e $ x_{1} $.
b) A taxa de variação instantânea de $ y $ em relação a $ x $ no ponto $ x_{0} $.
Pra resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre cálculo, especificamente sobre derivadas e como calcular a taxa de variação média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação média. Basicamente, ela nos diz quanto a função $ y = f(x) $ mudou em média entre dois pontos $ x_{0} $ e $ x_{1} $. A fórmula para isso é:
y = f(x) çãé
Então, a gente vai calcular $ f(x_{1}) $ e $ f(x_{0}) $, subtrair e dividir pela diferença entre $ x_{1} $ e $ x_{0} $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(x_{1}) $ e $ f(x_{0}) $:
f(x1)
f(x0)
Agora, substituímos esses valores na fórmula da taxa de variação média:
f(x1) = x1^2 e^x1 çãé

Passo 4

Pronto, isso resolve a parte a) da questão. Agora, vamos para a parte b), que pede a taxa de variação instantânea no ponto $ x_{0} $.
A taxa de variação instantânea é basicamente a derivada da função no ponto $ x_{0} $. Ou seja, vamos encontrar $ f’(x) $ e depois avaliar em $ x = x_{0} $.

Passo 5

Vamos derivar a função $ f(x) = x^{2} e^{x} $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se você tem uma função que é o produto de duas outras, $ u(x) \cdot v(x) $, então a derivada é:
f(x) = x^2 e^x
No nosso caso, $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = e^{x} $. Vamos derivar cada uma:
u(x) cdot v(x)
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
Aplicando a regra do produto:
u(x) = x^2

Passo 6

Agora, avaliamos a derivada no ponto $ x_{0} $:
x0

Resposta

a) A taxa de variação média de $ y $ em relação a $ x $ no intervalo y é:
x
b) A taxa de variação instantânea de $ y $ em relação a $ x $ no ponto $ x_{0} $ é:
[x0, x1]

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