Exercícios 3 a 5: São dados uma função
os valores de
.
a) Encontre a taxa de variação média de
em relação a
no intervalo
.
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a
no valor especificado de
.
a) Encontre a taxa de variação média de
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com a função $ f(x) = x^{2} e^{x} $. Precisamos encontrar duas coisas:
a) A taxa de variação média de $ y $ em relação a $ x $ no intervalo entre dois pontos $ x_{0} $ e $ x_{1} $.
b) A taxa de variação instantânea de $ y $ em relação a $ x $ no ponto $ x_{0} $.
a) A taxa de variação média de $ y $ em relação a $ x $ no intervalo entre dois pontos $ x_{0} $ e $ x_{1} $.
b) A taxa de variação instantânea de $ y $ em relação a $ x $ no ponto $ x_{0} $.
Pra resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre cálculo, especificamente sobre derivadas e como calcular a taxa de variação média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação média. Basicamente, ela nos diz quanto a função $ y = f(x) $ mudou em média entre dois pontos $ x_{0} $ e $ x_{1} $. A fórmula para isso é:
Então, a gente vai calcular $ f(x_{1}) $ e $ f(x_{0}) $, subtrair e dividir pela diferença entre $ x_{1} $ e $ x_{0} $.
Passo 3
Vamos calcular $ f(x_{1}) $ e $ f(x_{0}) $:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da taxa de variação média:
Passo 4
Pronto, isso resolve a parte a) da questão. Agora, vamos para a parte b), que pede a taxa de variação instantânea no ponto $ x_{0} $.
A taxa de variação instantânea é basicamente a derivada da função no ponto $ x_{0} $. Ou seja, vamos encontrar $ f’(x) $ e depois avaliar em $ x = x_{0} $.
Passo 5
Vamos derivar a função $ f(x) = x^{2} e^{x} $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se você tem uma função que é o produto de duas outras, $ u(x) \cdot v(x) $, então a derivada é:
No nosso caso, $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = e^{x} $. Vamos derivar cada uma:
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, avaliamos a derivada no ponto $ x_{0} $:
Resposta
a) A taxa de variação média de $ y $ em relação a $ x $ no intervalo
é:
b) A taxa de variação instantânea de $ y $ em relação a $ x $ no ponto $ x_{0} $ é: