Exercícios - seção 2
Prove que |a-b|<varepsilon Rightarrow|a|<|b|+varepsilon.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos mostrar que, dados números reais a,b e um real positivo varepsilon, a hipótese
|a-b|<varepsilon
implica
|a|<|b|+varepsilon
O conteúdo teórico que vamos usar é a desigualdade triangular.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular na forma
|x+y|<=|x|+|y|
Escolhendo x=a-b e y=b, obtemos
|a| = |(a-b)+b|<=|a-b|+|b|

Passo 3

Pela hipótese |a-b|<varepsilon, temos
|a|<=|a-b|+|b|<varepsilon+|b| = |b|+varepsilon

Resposta

A desigualdade desejada |a|<|b|+varepsilon está comprovada.

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