Exercícios - seção 2
Use o fato de que o trinômio do segundo grau
é
para todo
para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe
tal que
para todo
Use o fato de que o trinômio do segundo grau
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz usando o fato de que, para quaisquer vetores
e
, o polinômio de segundo grau em
é não negativo para todo
. Vamos usar essa ideia de discriminante de polinômio quadrático para chegar à desigualdade
e depois analisar o caso de igualdade.
Passo 2
Expandindo
obtemos um quadrático no formato
onde
Note que
(é soma de quadrados) e, por hipótese,
para todo
.
Passo 3
Para um polinômio
ser não negativo em toda reta real, seu discriminante
deve satisfazer
Logo
Substituindo de volta
,
e
, temos exatamente
que é a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 4
Para estudar o caso de igualdade, note que ele ocorre se, e somente se,
, isto é,
. Nesse caso o polinômio tem raiz dupla
Como
e
, cada termo
deve ser zero. Assim
para todo
. Definindo
, fica
. Reciprocamente, se existe
tal que
para todo
, basta substituir na desigualdade para ver que ocorre igualdade.
Resposta
Com isso mostramos que