Exercícios - seção 2
Use o fato de que o trinômio do segundo grau f(lambda)=sumi=1^n(xi+lambda yi)^2 é >= 0 para todo lambda in R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(sumi=1^n xi yi)^2 <=(sumi=1^n xi^2)(sumi=1^n yi^2)
Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe lambda tal que xi=lambda yi para todo

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz usando o fato de que, para quaisquer vetores (x1,dots,xn) e (y1,dots,yn), o polinômio de segundo grau em lambda
f(lambda)=sumi=1^n(xi+lambda yi)^2
é não negativo para todo lambdainR. Vamos usar essa ideia de discriminante de polinômio quadrático para chegar à desigualdade
l(sumi=1^nxiyir)^2<=l(sumi=1^nxi^2r)l(sumi=1^nyi^2r)
e depois analisar o caso de igualdade.

Passo 2

Expandindo f(lambda) obtemos um quadrático no formato
f(lambda)=alambda^2+2blambda+c,
onde
a=sumi=1^nyi^2, b=sumi=1^nxiyi, c=sumi=1^nxi^2
Note que a>=0 (é soma de quadrados) e, por hipótese, f(lambda)>=0 para todo lambda.

Passo 3

Para um polinômio alambda^2+2blambda+c ser não negativo em toda reta real, seu discriminante De<a deve satisfazer
De<a = (2b)^2-4ac = 4l(b^2-acr)<=0
Logo
b^2-ac<=0 Longrightarrow b^2<= a,c
Substituindo de volta a, b e c, temos exatamente
l(sumi=1^nxiyir)^2<= l(sumi=1^nyi^2r) l(sumi=1^nxi^2r),
que é a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 4

Para estudar o caso de igualdade, note que ele ocorre se, e somente se, De<a=0, isto é, b^2=ac. Nesse caso o polinômio tem raiz dupla
lambda0=-ba
Como f(lambda0)=0 e f(lambda0)=sumi=1^n(xi+lambda0yi)^2, cada termo (xi+lambda0yi)^2 deve ser zero. Assim
xi+lambda0yi=0 Longrightarrow xi = -lambda0,yi,
para todo i. Definindo lambda=-lambda0, fica xi=lambda,yi. Reciprocamente, se existe lambda tal que xi=lambda,yi para todo i, basta substituir na desigualdade para ver que ocorre igualdade.

Resposta

Com isso mostramos que
l(sumi=1^nxiyir)^2<= l(sumi=1^nxi^2r) l(sumi=1^nyi^2r) e que há igualdade se, e somente se, xi=lambda,yi,forall i á

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