Exercícios - seção 2
Prove que
para quaisquer
.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
, vale
Isso envolve propriedades básicas do valor absoluto, em especial a desigualdade triangular.
Passo 2
Aplicamos a desigualdade triangular ao número
x escrito como soma de
(x-y) com
y :
Reordenando, obtemos
Passo 3
Agora trocamos os papéis de
x e
y . Escrevendo
y=(y-x)+x e usando triangular,
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Passo 4
Das duas desigualdades
segue que
Por definição de valor absoluto, isso equivale exatamente a
Resposta
Ficou demonstrado que
llvert |x|-|y|rrvert <= |x-y| para todos
x,yinR .