Exercícios - seção 2
Prove que ||x|-|y|| <=|x-y| para quaisquer x, y in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x,yinR, vale
llvert |x|-|y|rrvert ;<=; |x-y|
Isso envolve propriedades básicas do valor absoluto, em especial a desigualdade triangular.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular ao número x escrito como soma de (x-y) com y:
|x| = |(x-y)+y| ;<=; |x-y| + |y|
Reordenando, obtemos
|x| - |y| ;<=; |x-y|

Passo 3

Agora trocamos os papéis de x e y. Escrevendo y=(y-x)+x e usando triangular,
|y| = |(y-x)+x| ;<=; |y-x| + |x| = |x-y| + |x|
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|y| - |x| ;<=; |x-y|

Passo 4

Das duas desigualdades
|x| - |y| <= |x-y| e |y| - |x| <= |x-y|
segue que
-,|x-y|;<=;|x|-|y|;<=;|x-y|
Por definição de valor absoluto, isso equivale exatamente a
llvert |x|-|y|rrvert ;<=; |x-y|

Resposta

Ficou demonstrado que llvert |x|-|y|rrvert <= |x-y| para todos x,yinR.

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